উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Cumilla Board • কুমিল্লা বোর্ড ২০১৯

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উদ্দীপক : h(x)=−8x1−x2 h(x)=\frac{-8 x}{1-x^{2}} একটি ভমাংশ এবং ∑n=1∞n!n(n−1)!3n \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n ! n}{(n-1) ! 3^{n}} হলো একটি ধারার সমষ্টি।

  1. ক)

    x=i x=i হলে h(x)h(x) এর বর্গমূল বের কর। [ ii একটি কাল্পনিক সংখ্যা]

    (2)
  2. খ)

    উদ্দীপকের ধারাটির অভিসারিতা যাচাই কর।

    (4)
  3. গ)

    h(x) \mathrm{h}(\mathrm{x}) এর বিস্তৃতিতে xr \mathrm{x}^{\mathrm{r}} এর সহগ নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, h(x)=−8x1−x2h(x) = \frac{-8x}{1-x^2}
    x=ix = i হলে,
    h(i)=−8i1−i2=−8i1−(−1)=−8i2=−4ih(i) = \frac{-8i}{1-i^2} = \frac{-8i}{1-(-1)} = \frac{-8i}{2} = -4i

    এখন, −4i-4i এর বর্গমূল নির্ণয় করতে হবে:
    −4i=2(−2i)=2(1−2i−1)=2(1−2i+i2)=2(1−i)2-4i = 2(-2i) = 2(1 - 2i - 1) = 2(1 - 2i + i^2) = 2(1 - i)^2
    অতএব,
    −4i=±2(1−i)\sqrt{-4i} = \pm \sqrt{2}(1 - i)

    নির্ণেয় বর্গমূল: ±2(1−i)\pm \sqrt{2}(1 - i)

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপকে প্রদত্ত ধারাটির nn-তম পদ,
    un=n!⋅n(n−1)!3n=n(n−1)!⋅n(n−1)!3n=n23nu_n = \frac{n! \cdot n}{(n-1)! 3^n} = \frac{n(n-1)! \cdot n}{(n-1)! 3^n} = \frac{n^2}{3^n}

    অতএব, (n+1)(n+1)-তম পদ,
    un+1=(n+1)23n+1u_{n+1} = \frac{(n+1)^2}{3^{n+1}}

    ডি'আলেমবার্টের অনুপাত পরীক্ষা (D'Alembert's Ratio Test) প্রয়োগ করে পাই:
    lim⁡n→∞∣un+1un∣=lim⁡n→∞(n+1)23n+1×3nn2\lim_{n \to \infty} \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{3^{n+1}} \times \frac{3^n}{n^2}
    =lim⁡n→∞13(n+1n)2=13lim⁡n→∞(1+1n)2= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3} \left( \frac{n+1}{n} \right)^2 = \frac{1}{3} \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^2
    =13(1+0)2=13= \frac{1}{3} (1 + 0)^2 = \frac{1}{3}

    যেহেতু lim⁡n→∞∣un+1un∣=13<1\lim_{n \to \infty} \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| = \frac{1}{3} < 1,
    সুতরাং অনুপাত পরীক্ষা অনুযায়ী প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী (Convergent)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, h(x)=−8x1−x2h(x) = \frac{-8x}{1-x^2}
    আংশিক ভগ্নাংশে রূপান্তর করে পাই:
    h(x)=−8x(1−x)(1+x)=A1−x+B1+xh(x) = \frac{-8x}{(1-x)(1+x)} = \frac{A}{1-x} + \frac{B}{1+x}
    −8x=A(1+x)+B(1−x)-8x = A(1+x) + B(1-x)
    x=1x = 1 বসালে, −8=2A  ⟹  A=−4-8 = 2A \implies A = -4
    x=−1x = -1 বসালে, 8=2B  ⟹  B=48 = 2B \implies B = 4

    অতএব,
    h(x)=−4(1−x)−1+4(1+x)−1h(x) = -4(1-x)^{-1} + 4(1+x)^{-1}

    দ্বিপদী বিস্তৃতি করে পাই:
    (1−x)−1=1+x+x2+x3+⋯+xr+…(1-x)^{-1} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^r + \dots
    (1+x)−1=1−x+x2−x3+⋯+(−1)rxr+…(1+x)^{-1} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots + (-1)^r x^r + \dots

    সুতরাং,
    h(x)=−4∑r=0∞xr+4∑r=0∞(−1)rxrh(x) = -4 \sum_{r=0}^{\infty} x^r + 4 \sum_{r=0}^{\infty} (-1)^r x^r
    =∑r=0∞[−4+4(−1)r]xr= \sum_{r=0}^{\infty} \left[ -4 + 4(-1)^r \right] x^r
    =∑r=0∞4[(−1)r−1]xr= \sum_{r=0}^{\infty} 4 \left[ (-1)^r - 1 \right] x^r

    অতএব, h(x)h(x) এর বিস্তৃতিতে xrx^r এর সহগ =4[(−1)r−1]= 4[(-1)^r - 1]

    অর্থাৎ,
    যখন rr জোড় সংখ্যা, সহগ =4(1−1)=0= 4(1 - 1) = 0
    যখন rr বিজোড় সংখ্যা, সহগ =4(−1−1)=−8= 4(-1 - 1) = -8

    নির্ণেয় সহগ: 4[(−1)r−1]4[(-1)^r - 1] অথবা জোড় rr এর জন্য 00 এবং বিজোড় rr এর জন্য −8-8।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন