উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Chattogram Board • চট্টগ্রাম বোর্ড ২০১৯

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

f(x)=x………(i) f(x)=x \ldots \ldots \ldots(i)
g(x)=cos⁡−1x2………(ii) g(x)=\cos ^{-1} x^2 \ldots \ldots \ldots(i i)
y2=7x………(iii) y^2=7 x \ldots \ldots \ldots(i i i)

  1. ক)

    ∫(cot⁡27x+sec⁡29x)dx\int\left(\cot ^2 7 x+\sec ^2 9 x\right) d x নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    যোগজ নির্ণয় কর: ∫f(x)g(x)dx\int f(x) g(x) d x

    (2)
  3. গ)

    (i) নং সরলরেখা ও (iii) নং বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    I=∫(cot⁡27x+sec⁡29x)dxI = \int (\cot^2 7x + \sec^2 9x) dx
    =∫(csc⁡27x−1+sec⁡29x)dx= \int (\csc^2 7x - 1 + \sec^2 9x) dx
    =∫csc⁡27xdx−∫dx+∫sec⁡29xdx= \int \csc^2 7x dx - \int dx + \int \sec^2 9x dx
    =−cot⁡7x7−x+tan⁡9x9+c= -\frac{\cot 7x}{7} - x + \frac{\tan 9x}{9} + c
    যেখানে cc একটি সমাকলন ধ্রুবক।
    উত্তর: −17cot⁡7x−x+19tan⁡9x+c-\frac{1}{7}\cot 7x - x + \frac{1}{9}\tan 9x + c

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, f(x)=xf(x) = x এবং g(x)=cos⁡−1(x2)g(x) = \cos^{-1}(x^2)।
    নির্ণেয় যোগজ, I=∫f(x)g(x)dx=∫xcos⁡−1(x2)dxI = \int f(x)g(x) dx = \int x \cos^{-1}(x^2) dx
    ধরি, z=x2z = x^2
    তাহলে, dz=2xdx  ⟹  xdx=12dzdz = 2x dx \implies x dx = \frac{1}{2} dz
    সুতরাং,
    I=12∫cos⁡−1(z)dzI = \frac{1}{2} \int \cos^{-1}(z) dz
    খণ্ডশ সমাকলন (Integration by parts) পদ্ধতি প্রয়োগ করে:
    I=12[cos⁡−1(z)∫1dz−∫(ddz(cos⁡−1z)∫1dz)dz]I = \frac{1}{2} \left[ \cos^{-1}(z) \int 1 dz - \int \left( \frac{d}{dz}(\cos^{-1} z) \int 1 dz \right) dz \right]
    =12[zcos⁡−1(z)−∫(−11−z2⋅z)dz]= \frac{1}{2} \left[ z \cos^{-1}(z) - \int \left(-\frac{1}{\sqrt{1-z^2}} \cdot z\right) dz \right]
    =12[zcos⁡−1(z)+∫z1−z2dz]= \frac{1}{2} \left[ z \cos^{-1}(z) + \int \frac{z}{\sqrt{1-z^2}} dz \right]
    এখন, ∫z1−z2dz=−12∫(1−z2)−12(−2z)dz=−1−z2\int \frac{z}{\sqrt{1-z^2}} dz = -\frac{1}{2} \int (1-z^2)^{-\frac{1}{2}} (-2z) dz = -\sqrt{1-z^2}
    অতএব,
    I=12[zcos⁡−1(z)−1−z2]+cI = \frac{1}{2} \left[ z \cos^{-1}(z) - \sqrt{1-z^2} \right] + c
    z=x2z = x^2 বসিয়ে পাই:
    I=12[x2cos⁡−1(x2)−1−x4]+cI = \frac{1}{2} \left[ x^2 \cos^{-1}(x^2) - \sqrt{1-x^4} \right] + c
    উত্তর: 12x2cos⁡−1(x2)−121−x4+c\frac{1}{2} x^2 \cos^{-1}(x^2) - \frac{1}{2}\sqrt{1-x^4} + c

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপক হতে,
    সরলরেখার সমীকরণ: y=f(x)=x  ⟹  y=xy = f(x) = x \implies y = x ... (i)
    বক্ররেখার সমীকরণ: y2=7xy^2 = 7x ... (iii)

    ছেদবিন্দু নির্ণয়:
    (i) হতে y=xy = x সমীকরণ (iii)-এ বসিয়ে পাই,
    x2=7x  ⟹  x(x−7)=0x^2 = 7x \implies x(x - 7) = 0
    ∴x=0,7\therefore x = 0, 7
    যখন x=0x = 0, তখন y=0y = 0
    যখন x=7x = 7, তখন y=7y = 7
    অতএব ছেদবিন্দুসমূহ (0,0)(0, 0) ও (7,7)(7, 7)।

    x=0x = 0 থেকে x=7x = 7 ব্যবধিতে y1=7xy_1 = \sqrt{7x} বক্ররেখাটি y2=xy_2 = x সরলরেখার উপরে অবস্থান করে।

    অতএব, আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল:
    A=∫07(y1−y2)dxA = \int_{0}^{7} (y_1 - y_2) dx
    =∫07(7x−x)dx= \int_{0}^{7} (\sqrt{7}\sqrt{x} - x) dx
    =[7⋅x3/23/2−x22]07= \left[ \sqrt{7} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{7}
    =[273x3/2−x22]07= \left[ \frac{2\sqrt{7}}{3} x^{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{7}
    =(273⋅73/2−722)−0= \left( \frac{2\sqrt{7}}{3} \cdot 7^{3/2} - \frac{7^2}{2} \right) - 0
    =(273⋅77−492)= \left( \frac{2\sqrt{7}}{3} \cdot 7\sqrt{7} - \frac{49}{2} \right)
    =2×493−492= \frac{2 \times 49}{3} - \frac{49}{2}
    =49(23−12)= 49 \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \right)
    =49(4−36)= 49 \left( \frac{4 - 3}{6} \right)
    =496 বর্গ একক= \frac{49}{6} \text{ বর্গ একক}
    উত্তর: 496\frac{49}{6} বর্গ একক

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন