উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, সমান বল দুইটির প্রত্যেকটির মান = $F$ এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha = 60^{\circ}$।
   আমরা জানি, লব্ধি $R' = \sqrt{F^2 + F^2 + 2 \cdot F \cdot F \cos 60^{\circ}}$
   $= \sqrt{2F^2 + 2F^2 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{3F^2} = \sqrt{3}F$

   অতএব, লব্ধির মান বলদ্বয়ের যেকোনো একটির $\sqrt{3}$ গুণ।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   মনে করি, $\triangle ABC$-এর শীর্ষবিন্দু $A, B, C$-তে যথাক্রমে $P, Q, R$ সমমুখী সমান্তরাল বল ক্রিয়ারত এবং তাদের লব্ধি ত্রিভুজটির অন্তঃকেন্দ্র $I$ দিয়ে অতিক্রম করে।

   ধরি, $B$ ও $C$ বিন্দুতে ক্রিয়ারত $Q$ ও $R$ বলের লব্ধি $(Q+R)$, $BC$ বাহুকে $D$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   সমান্তরাল বলের সূত্রানুযায়ী,
   $Q \cdot BD = R \cdot CD$
   বা, $\frac{BD}{CD} = \frac{R}{Q}$

   যেহেতু তিনটি বলের লব্ধি $I$ বিন্দু দিয়ে যায় এবং $Q$ ও $R$ এর লব্ধি $D$ বিন্দু দিয়ে যায়, সুতরাং $A$ বিন্দুতে ক্রিয়ারত বল $P$ এবং $D$ বিন্দুতে ক্রিয়ারত লব্ধি $(Q+R)$-এর লব্ধি অবশ্যই $AD$ রেখাংশে অবস্থিত $I$ বিন্দু দিয়ে যাবে।
   অতএব, $AD$ হলো $A$ কোণের অন্তঃসমদ্বিখণ্ডক।
   আমরা জানি, ত্রিভুজের কোণের অন্তঃসমদ্বিখণ্ডক বিপরীত বাহুকে সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের অনুপাতে বিভক্ত করে।
   সুতরাং, $\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{b}$

   অতএব, $\frac{R}{Q} = \frac{c}{b} \implies \frac{Q}{b} = \frac{R}{c}$

   অনুরূপভাবে, $A$ ও $C$ বিন্দুতে ক্রিয়ারত বলদ্বয়ের জন্য দেখানো যায়,
   $\frac{P}{a} = \frac{R}{c}$

   সুতরাং, $\frac{P}{a} = \frac{Q}{b} = \frac{R}{c}$

   সাইন সূত্র হতে আমরা জানি, $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R'$
   অতএব, $a \propto \sin A$, $b \propto \sin B$, $c \propto \sin C$

   অতএব, $P : Q : R = a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C$ (দেখানো হলো)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   মনে করি, $\triangle ABC$-এর শীর্ষবিন্দু $A, B, C$-তে সমমুখী সমান্তরাল বল $P, Q, R$ ক্রিয়ারত এবং তাদের লব্ধি ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র $G$-গামী।

   ধরি, $B$ ও $C$ বিন্দুতে ক্রিয়ারত $Q$ ও $R$ বলদ্বয়ের লব্ধি $(Q+R)$, $BC$ বাহুকে $D$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   তাহলে, $Q \cdot BD = R \cdot CD$
   বা, $\frac{BD}{CD} = \frac{R}{Q}$

   যেহেতু তিনটি বলের লব্ধি ভরকেন্দ্র $G$ দিয়ে যায় এবং $A$ বিন্দুগামী বল $P$ ও $D$ বিন্দুগামী বল $(Q+R)$-এর ক্রিয়ারেখা $AD$, সেহেতু লব্ধি $AD$ রেখার উপর অবস্থিত ভরকেন্দ্র $G$ বিন্দু দিয়ে যাবে।
   অতএব, $AD$ হলো ত্রিভুজটির মধ্যমা, অর্থাৎ $D$ হলো $BC$-এর মধ্যবিন্দু।

   সুতরাং, $BD = CD$ বা $\frac{BD}{CD} = 1$
   তাহলে, $\frac{R}{Q} = 1 \implies Q = R$

   একইভাবে, $A$ ও $B$ বিন্দুতে ক্রিয়ারত বলদ্বয় $P$ ও $Q$-এর লব্ধি মধ্যমা বরাবর বিবেচনা করলে দেখানো যায়,
   $P = Q$

   অতএব, $P = Q = R$

   সুতরাং, বলত্রয়ের মধ্যবর্তী সম্পর্ক হলো: বল তিনটি পরস্পরের সমান, অর্থাৎ $P = Q = R$।