উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত (ii) নং সমীকরণ: $ax^2 + 2bx + 2c = 0$

   সমীকরণটির নিশ্চয়ক (Discriminant), $D = (2b)^2 - 4 \cdot a \cdot 2c = 4b^2 - 8ac$
   দেওয়া আছে, $a + b + c = 0 \Rightarrow b = -(a + c)$

   $b$-এর মান নিশ্চয়কে বসিয়ে পাই,
   $D = 4(-(a + c))^2 - 8ac$
   $= 4(a + c)^2 - 8ac$
   $= 4(a^2 + 2ac + c^2) - 8ac$
   $= 4a^2 + 8ac + 4c^2 - 8ac$
   $= 4a^2 + 4c^2 = 4(a^2 + c^2)$

   যেহেতু $a, b, c$ বাস্তব এবং $a \neq 0$ (দ্বিঘাত সমীকরণ হওয়ার শর্তানুসারে), তাই $a^2 > 0$ এবং $c^2 \ge 0$।
   ফলে, $4(a^2 + c^2) > 0$ অর্থাৎ নিশ্চয়ক সর্বদা ধনাত্মক।
   সুতরাং, (ii) নং সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে। (দেখানো হলো)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়:
   $ax^2 + 2cx + 2b = 0$ ... (i)
   $ax^2 + 2bx + 2c = 0$ ... (ii)

   ধরি, সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল $\alpha$।
   তাহলে,
   $a\alpha^2 + 2c\alpha + 2b = 0$ ... (iii)
   $a\alpha^2 + 2b\alpha + 2c = 0$ ... (iv)

   (iii) নং হতে (iv) নং বিয়োগ করে পাই:
   $(a\alpha^2 - a\alpha^2) + (2c\alpha - 2b\alpha) + (2b - 2c) = 0$
   $\Rightarrow 2\alpha(c - b) - 2(c - b) = 0$
   $\Rightarrow 2(c - b)(\alpha - 1) = 0$

   যেহেতু সমীকরণ দুটি ভিন্ন, তাই $b \neq c$, অর্থাৎ $c - b \neq 0$।
   $\therefore \alpha - 1 = 0 \Rightarrow \alpha = 1$

   এখন, সাধারণ মূল $\alpha = 1$ সমীকরণ (iii)-এ বসিয়ে পাই:
   $a(1)^2 + 2c(1) + 2b = 0$
   $\Rightarrow a + 2c + 2b = 0$
   $\Rightarrow a + 2b + 2c = 0$ (দেখানো হলো)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, (i) নং সমীকরণ $ax^2 + 2cx + 2b = 0$-এর মূলদ্বয় $\alpha_1, \beta_1$
   এবং (ii) নং সমীকরণ $ax^2 + 2bx + 2c = 0$-এর মূলদ্বয় $\alpha_2, \beta_2$।

   (i) নং সমীকরণ থেকে:
   $\alpha_1 + \beta_1 = -\frac{2c}{a}$, $\alpha_1\beta_1 = \frac{2b}{a}$

   (ii) নং সমীকরণ থেকে:
   $\alpha_2 + \beta_2 = -\frac{2b}{a}$, $\alpha_2\beta_2 = \frac{2c}{a}$

   শর্তানুসারে মূলদ্বয়ের পার্থক্য সমান:
   $|\alpha_1 - \beta_1| = |\alpha_2 - \beta_2|$
   উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
   $(\alpha_1 - \beta_1)^2 = (\alpha_2 - \beta_2)^2$
   $\Rightarrow (\alpha_1 + \beta_1)^2 - 4\alpha_1\beta_1 = (\alpha_2 + \beta_2)^2 - 4\alpha_2\beta_2$
   $\Rightarrow \left(-\frac{2c}{a}\right)^2 - 4\left(\frac{2b}{a}\right) = \left(-\frac{2b}{a}\right)^2 - 4\left(\frac{2c}{a}\right)$
   $\Rightarrow \frac{4c^2}{a^2} - \frac{8b}{a} = \frac{4b^2}{a^2} - \frac{8c}{a}$

   উভয়পক্ষকে $\frac{a^2}{4}$ দ্বারা গুণ করে পাই:
   $c^2 - 2ab = b^2 - 2ac$
   $\Rightarrow c^2 - b^2 + 2ac - 2ab = 0$
   $\Rightarrow (c - b)(c + b) + 2a(c - b) = 0$
   $\Rightarrow (c - b)(b + c + 2a) = 0$

   $\therefore c - b = 0 \Rightarrow b = c$
   অথবা,
   $b + c + 2a = 0$

   অতএব, $b = c$ এবং $b + c + 2a = 0$। (দেখানো হলো)