প্রমাণ কর যে, $ ext{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ (Prove that $ ext{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$.)

Question

প্রমাণ কর যে, $	ext{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ (Prove that $	ext{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$.)

Accepted Answer

**(6)** **প্রমাণ:** ধরি $E(X)=\mu$। ভেদাঙ্কের সংজ্ঞা অনুযায়ী:
$$	ext{Var}(X)=E\left[(X-\mu)^2ight]$$

বর্গ প্রসারিত করে:
$$	ext{Var}(X)=E\left[X^2-2\mu X+\mu^2ight]$$

প্রত্যাশার রৈখিকতা ($E(aX+b)=aE(X)+b$) প্রয়োগ করে, যেখানে $\mu$ ধ্রুবক:
$$	ext{Var}(X)=E(X^2)-2\mu E(X)+\mu^2$$

$E(X)=\mu$ বসালে:
$$	ext{Var}(X)=E(X^2)-2\mu^2+\mu^2=E(X^2)-\mu^2$$

অর্থাৎ
$$	ext{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$$

**(প্রমাণিত)**

উত্তর ও ব্যাখ্যা