পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো অঞ্চলে বা স্থানে যদি কোনো স্কেলার রাশির মান অবস্থান পরিবর্তনের সাথে সাথে সুনির্দিষ্টভাবে পরিবর্তিত হয়, তবে তাকে স্কেলার ক্ষেত্র বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   হ্যাঁ, একটি বিপ্রতীপ ভেক্টরকে সমরেখ ভেক্টর বলা যাবে।

   ব্যাখ্যা: দুটি সমান্তরাল ভেক্টরের একটির মান যদি অপরটির বিপ্রতীপ (বা গুণাত্মক বিপরীত) হয়, তবে তাদের বিপ্রতীপ ভেক্টর বলে। অন্যদিকে, দুই বা ততোধিক ভেক্টর যদি একই সরলরেখা বরাবর বা পরস্পর সমান্তরালে ক্রিয়া করে, তবে তাদেরকে সমরেখ ভেক্টর বলা হয়। যেহেতু বিপ্রতীপ ভেক্টরদ্বয়ের ক্রিয়াশীল রেখা পরস্পর সমান্তরাল বা একই রেখা বরাবর থাকে, তাই দিক একই বা বিপরীত যাই হোক না কেন, তাদের সমরেখ ভেক্টর হিসেবে গণ্য করা যায়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   স্রোতের বেগ, $v = 8\text{ km h}^{-1}$
   প্রথম মাঝির বেগ, $u_1 = 16\text{ km h}^{-1}$

   চিত্রানুযায়ী, প্রথম মাঝি নদীর প্রস্থ বরাবর রেখা $AB$-এর সাথে $30^\circ$ কোণে নৌকা চালাচ্ছেন।
   সুতরাং, স্রোতের বেগের দিক ও প্রথম মাঝির বেগের দিকের মধ্যবর্তী কোণ,
   $\alpha_1 = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ$

   প্রথম মাঝির লব্ধি বেগ $w_1$ হলে,
   $w_1 = \sqrt{u_1^2 + v^2 + 2 u_1 v \cos \alpha_1}$
   $w_1 = \sqrt{16^2 + 8^2 + 2 \times 16 \times 8 \times \cos 120^\circ}$
   $w_1 = \sqrt{256 + 64 + 256 \times \left(-\frac{1}{2}\right)}$
   $w_1 = \sqrt{320 - 128} = \sqrt{192} \approx 13.86\text{ km h}^{-1}$

   অতএব, প্রথম মাঝির লব্ধি বেগ $13.86\text{ km h}^{-1}$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   নদীর প্রস্থ, $d = 2\text{ km}$
   স্রোতের বেগ, $v = 8\text{ km h}^{-1}$
   প্রথম মাঝির বেগ, $u_1 = 16\text{ km h}^{-1}$; স্রোতের দিকের সাথে কোণ, $\alpha_1 = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ$
   দ্বিতীয় মাঝির বেগ, $u_2 = 16\text{ km h}^{-1}$; স্রোতের দিকের সাথে কোণ, $\alpha_2 = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ$

   প্রথম মাঝির ক্ষেত্রে:
   নদী পার হতে প্রয়োজনীয় সময়,
   $t_1 = \frac{d}{u_1 \sin \alpha_1} = \frac{2}{16 \sin 120^\circ} = \frac{2}{16 \times \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{4\sqrt{3}}\text{ h} \approx 0.1443\text{ h}$

   'গ' হতে পাই, প্রথম মাঝির লব্ধি বেগ, $w_1 = \sqrt{192}\text{ km h}^{-1} \approx 13.856\text{ km h}^{-1}$
   সুতরাং, প্রথম মাঝি কর্তৃক অতিক্রান্ত মোট দূরত্ব,
   $s_1 = w_1 \times t_1 = \sqrt{192} \times \frac{1}{4\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = 2\text{ km}$
   [বিকল্পভাবে, অনুভূমিক সরণ $x_1 = (v + u_1 \cos 120^\circ) t_1 = (8 - 16 \times 0.5) t_1 = 0$, ফলে $s_1 = \sqrt{x_1^2 + d^2} = d = 2\text{ km}$]

   দ্বিতীয় মাঝির ক্ষেত্রে:
   নদী পার হতে প্রয়োজনীয় সময়,
   $t_2 = \frac{d}{u_2 \sin \alpha_2} = \frac{2}{16 \sin 150^\circ} = \frac{2}{16 \times 0.5} = \frac{2}{8} = 0.25\text{ h}$

   দ্বিতীয় মাঝির লব্ধি বেগ,
   $w_2 = \sqrt{u_2^2 + v^2 + 2 u_2 v \cos \alpha_2}$
   $= \sqrt{16^2 + 8^2 + 2 \times 16 \times 8 \times \cos 150^\circ}$
   $= \sqrt{256 + 64 + 256 \times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}$
   $= \sqrt{320 - 221.70} = \sqrt{98.297} \approx 9.9145\text{ km h}^{-1}$

   সুতরাং, দ্বিতীয় মাঝি কর্তৃক অতিক্রান্ত মোট দূরত্ব,
   $s_2 = w_2 \times t_2 = 9.9145 \times 0.25 \approx 2.48\text{ km}$

   যেহেতু $s_1 < s_2$ ($2\text{ km} < 2.48\text{ km}$), তাই প্রথম মাঝি নদী পার হতে কম দূরত্ব অতিক্রম করবেন।