উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ:
   $2x^2 + 2y^2 = 8$
   বা, $x^2 + y^2 - 4 = 0$

   $(2, -3)$ বিন্দু থেকে বৃত্তটির উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য:
   $= \sqrt{2^2 + (-3)^2 - 4}$
   $= \sqrt{4 + 9 - 4}$
   $= \sqrt{9} = 3$ একক।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১:
   (i) নং বৃত্ত: $x^2 + y^2 - 6x = 0$
   (ii) নং রেখা: $x - 4 = 0$

   (i) নং বৃত্ত ও (ii) নং রেখার ছেদবিন্দুগামী যেকোনো বৃত্তের সমীকরণ:
   $x^2 + y^2 - 6x + k(x - 4) = 0$
   বা, $x^2 + y^2 + (k - 6)x - 4k = 0$ ... (iii)

   (iii) নং বৃত্তের কেন্দ্র $= \left(-\frac{k - 6}{2}, 0\right)$
   প্রশ্নমতে, বৃত্তটির কেন্দ্র $(7, 0)$।
   $\therefore -\frac{k - 6}{2} = 7$
   বা, $k - 6 = -14$
   বা, $k = -8$

   $k$ এর মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
   $x^2 + y^2 + (-8 - 6)x - 4(-8) = 0$
   বা, $x^2 + y^2 - 14x + 32 = 0$

   নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ: $x^2 + y^2 - 14x + 32 = 0$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ এর বৃত্তদ্বয়:
   $S_1 \equiv x^2 + y^2 + 6x + 4y + 6 = 0$ ... (i)
   $S_2 \equiv x^2 + y^2 + 4x + 2y + 2 = 0$ ... (ii)

   বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ:
   $S_1 - S_2 = 0$
   বা, $(x^2 + y^2 + 6x + 4y + 6) - (x^2 + y^2 + 4x + 2y + 2) = 0$
   বা, $2x + 2y + 4 = 0$
   বা, $x + y + 2 = 0$ ... (iii)

   উক্ত সাধারণ জ্যা-কে ধারণকারী বৃত্তের সমীকরণ:
   $S_1 + k(x + y + 2) = 0$
   বা, $x^2 + y^2 + 6x + 4y + 6 + k(x + y + 2) = 0$
   বা, $x^2 + y^2 + (6 + k)x + (4 + k)y + (6 + 2k) = 0$ ... (iv)

   (iv) নং বৃত্তের কেন্দ্র $= \left(-\frac{6 + k}{2}, -\frac{4 + k}{2}\right)$
   যেহেতু (iii) নং সাধারণ জ্যা বৃত্তটির ব্যাস, তাই কেন্দ্র (iii) নং রেখার উপর অবস্থিত হবে।
   $\therefore -\frac{6 + k}{2} - \frac{4 + k}{2} + 2 = 0$
   বা, $-(6 + k) - (4 + k) + 4 = 0$
   বা, $-10 - 2k + 4 = 0$
   বা, $-2k = 6$
   বা, $k = -3$

   $k = -3$ সমীকরণ (iv)-এ বসিয়ে পাই,
   $x^2 + y^2 + (6 - 3)x + (4 - 3)y + (6 - 6) = 0$
   বা, $x^2 + y^2 + 3x + y = 0$

   নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ: $x^2 + y^2 + 3x + y = 0$