উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, উপবৃত্তটির প্রমিত সমীকরণ:
   $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ... (i)

   উপবৃত্তটি $(-3, 0)$ বিন্দু দিয়ে যায়, সুতরাং:
   $\frac{(-3)^2}{a^2} + \frac{0^2}{b^2} = 1 \Rightarrow \frac{9}{a^2} = 1 \Rightarrow a^2 = 9$

   আবার, উপবৃত্তটি $(0, 2\sqrt{2})$ বিন্দু দিয়ে যায়, সুতরাং:
   $\frac{0^2}{a^2} + \frac{(2\sqrt{2})^2}{b^2} = 1 \Rightarrow \frac{8}{b^2} = 1 \Rightarrow b^2 = 8$

   (i) নং সমীকরণে $a^2$ ও $b^2$ এর মান বসিয়ে পাই:
   $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{8} = 1$
   বা, $8x^2 + 9y^2 = 72$ যা নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত কণিক: $16x^2 + 25y^2 = 400$
   উভয়পক্ষকে $400$ দ্বারা ভাগ করে পাই:
   $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$
   $\Rightarrow \frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{4^2} = 1$
   এখানে, $a = 5, b = 4$; যেহেতু $a > b$, তাই উপবৃত্তটির বৃহৎ অক্ষ $x$-অক্ষ বরাবর।

   ১. উৎকেন্দ্রিকতা, $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$
   ২. শীর্ষদ্বয়ের স্থানাঙ্ক: $(\pm a, 0) = (\pm 5, 0)$
   ৩. ফোকাসদ্বয়: $(\pm ae, 0) = \left(\pm 5 \times \frac{3}{5}, 0\right) = (\pm 3, 0)$
   ৪. উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য: $\frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 16}{5} = \frac{32}{5} = 6.4$ একক।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উপবৃত্তের সমীকরণ: $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$
   এখানে $a = 5, b = 4$ এবং $e = \frac{3}{5}$। বৃহৎ অক্ষ $x$-অক্ষ বরাবর।

   উপকেন্দ্রিক লম্বদ্বয়ের সমীকরণ:
   $x = \pm ae$
   $\Rightarrow x = \pm 5 \left(\frac{3}{5}\right)$
   $\Rightarrow x = \pm 3$
   বা, $x - 3 = 0$ এবং $x + 3 = 0$

   নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ:
   $x = \pm \frac{a}{e}$
   $\Rightarrow x = \pm \frac{5}{\frac{3}{5}} = \pm \frac{25}{3}$
   $\Rightarrow 3x = \pm 25$
   বা, $3x - 25 = 0$ এবং $3x + 25 = 0$

   চিত্রের বিবরণ: কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় মূলবিন্দু $(0,0)$-কে কেন্দ্র করে $x$-অক্ষে বৃহৎ অক্ষ (দৈর্ঘ্য $2a = 10$) এবং $y$-অক্ষে ক্ষুদ্র অক্ষ (দৈর্ঘ্য $2b = 8$) এঁকে উপবৃত্তটি অঙ্কন করতে হবে। উপবৃত্তের অভ্যন্তরে $x = \pm 3$ বিন্দুতে $y$-অক্ষের সমান্তরাল রেখা দুটি উপকেন্দ্রিক লম্ব এবং উপবৃত্তের বাইরে $x = \pm \frac{25}{3}$ রেখা দুটি নিয়ামকরেখা নির্দেশ করে।