উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, বলদ্বয় $P_1 = 100\text{ N}$ এবং $Q_1 = 70\text{ N}$।
   এদের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha = 62^\circ$।

   লব্ধির মান $R'$ হলে,
   $R' = \sqrt{P_1^2 + Q_1^2 + 2P_1Q_1\cos\alpha}$
   $\Rightarrow R' = \sqrt{100^2 + 70^2 + 2 \times 100 \times 70 \times \cos 62^\circ}$
   $\Rightarrow R' = \sqrt{10000 + 4900 + 14000 \times 0.46947} = \sqrt{14900 + 6572.58} = \sqrt{21472.58} \approx 146.54\text{ N}$

   লব্ধি $100\text{ N}$ বলের সাথে $\theta$ কোণ উৎপন্ন করলে,
   $\tan\theta = \frac{Q_1\sin\alpha}{P_1 + Q_1\cos\alpha} = \frac{70\sin 62^\circ}{100 + 70\cos 62^\circ}$
   $\Rightarrow \tan\theta = \frac{70 \times 0.88295}{100 + 70 \times 0.46947} = \frac{61.8065}{100 + 32.8629} = \frac{61.8065}{132.8629} \approx 0.46519$
   $\Rightarrow \theta = \tan^{-1}(0.46519) \approx 24.95^\circ$

   উত্তর: লব্ধির মান প্রায় $146.54\text{ N}$ এবং তা $100\text{ N}$ বলের সাথে প্রায় $24.95^\circ$ কোণে ক্রিয়া করে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে, $A$ ও $B$ বিন্দুতে যথাক্রমে $P$ ও $Q$ সদৃশ সমান্তরাল বল ক্রিয়াশীল এবং এদের লব্ধি $C$ বিন্দুতে ক্রিয়া করে।
   সুতরাং, $P \cdot AC = Q \cdot BC \implies \frac{AC}{BC} = \frac{Q}{P} \quad \cdots (1)$

   ১ম শর্তানুসারে, $P$ বলকে $(R+3)$ এবং $Q$ বলকে $(S+2)$ পরিমাণে বৃদ্ধি করলেও লব্ধি $C$ বিন্দুতে ক্রিয়া করে।
   অতএব, $(P + R + 3) \cdot AC = (Q + S + 2) \cdot BC$
   $\Rightarrow \frac{AC}{BC} = \frac{Q + S + 2}{P + R + 3} \quad \cdots (2)$

   (1) ও (2) হতে পাই,
   $\frac{Q}{P} = \frac{Q + S + 2}{P + R + 3}$
   $\Rightarrow \frac{Q}{P} = \frac{(Q + S + 2) - Q}{(P + R + 3) - P} = \frac{S + 2}{R + 3}$
   $\Rightarrow Q(R + 3) = P(S + 2) \quad \cdots (3)$

   ২য় শর্তানুসারে, $P$ ও $Q$ এর পরিবর্তে যথাক্রমে $Q$ ও $(R+3)$ ক্রিয়া করলেও লব্ধি $C$ বিন্দুতে ক্রিয়া করে।
   অতএব, $Q \cdot AC = (R + 3) \cdot BC$
   $\Rightarrow \frac{AC}{BC} = \frac{R + 3}{Q} \quad \cdots (4)$

   (1) ও (4) হতে পাই,
   $\frac{Q}{P} = \frac{R + 3}{Q} \implies (R + 3) = \frac{Q^2}{P}$
   $\Rightarrow P = \frac{Q^2}{R + 3} \quad \cdots (5)$

   (5) নং সমীকরণ থেকে $P$ এর মান (3) নং এ বসিয়ে পাই,
   $Q(R + 3) = \frac{Q^2}{R + 3}(S + 2)$
   $\Rightarrow (R + 3)^2 = Q(S + 2) \quad [Q \neq 0]$
   $\Rightarrow R^2 + 6R + 9 = QS + 2Q$

   বিকল্প ও সহজ প্রতিপাদন:
   সমীকরণ (3) ও (4) এর অনুপাত থেকে,
   $\frac{AC}{BC} = \frac{Q}{P} = \frac{S+2}{R+3} = \frac{R+3}{Q}$
   অতএব,
   $\frac{Q}{P} = \frac{R+3}{Q} = \frac{S+2}{R+3}$
   অংশদ্বয় হতে,
   $\frac{Q - (R+3)}{P - Q} = \frac{R+3 - (S+2)}{Q - (R+3)}$
   $\Rightarrow \frac{Q - R - 3}{P - Q} = \frac{R - S + 1}{Q - R - 3}$
   $\Rightarrow R - S + 1 = \frac{(Q - R - 3)^2}{P - Q}$
   $\Rightarrow R = S + \frac{(Q - R - 3)^2}{P - Q} - 1$
   (প্রমাণিত)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   মনে করি, $A$ ও $B$ বিন্দুতে ক্রিয়াশীল সদৃশ সমান্তরাল বলদ্বয় যথাক্রমে $P$ ও $Q$ এবং এদের লব্ধি $C$ বিন্দুতে ক্রিয়া করে।
   অতএব, $P \cdot AC = Q \cdot BC \quad \cdots (1)$

   এখন, বলদ্বয়ের সমতলে $x$ দূরত্বের ব্যবধানে $R$ মানের দুইটি অসদৃশ সমান্তরাল বল প্রয়োগ করা হলো, যা একটি যুগল গঠন করে। ধরি যুগলের মোমেন্ট $= R \cdot x$।

   নতুন বল ব্যবস্থার লব্ধির মান অপরিবর্তিত থাকবে (যেহেতু $P + Q + R - R = P + Q$) কিন্তু লব্ধির ক্রিয়া বিন্দু সরে যাবে।
   ধরি, নতুন লব্ধি $C'$ বিন্দুতে ক্রিয়া করে, যেখানে $CC' = d$।

   $C$ বিন্দুর সাপেক্ষে বলগুলোর ভ্রামক বা মোমেন্ট নিয়ে পাই,
   লব্ধির ভ্রামক = মূল বলদ্বয়ের ভ্রামক + যুগলের ভ্রামক
   যেহেতু মূল বলদ্বয়ের লব্ধি $C$ বিন্দুতে ক্রিয়াশীল, তাই $C$ বিন্দুর সাপেক্ষে তাদের লব্ধির (বা বলদ্বয়ের) মোট ভ্রামক শূন্য।
   অতএব,
   $(P + Q) \cdot d = R \cdot x$
   $\Rightarrow d = \frac{xR}{P + Q}$

   অতএব, লব্ধি $C$ বিন্দু হতে $\frac{xR}{P+Q}$ দূরত্বে সরে যাবে।
   (প্রমাণিত)