গণিত • Mymensingh Board • ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৩

গণিত প্রশ্ন

(i) (ii) sin⁡β+sin⁡β⋅cot⁡β=P \sin \beta+\sin \beta \cdot \cot \beta=P

  1. ক)

    sec⁡(A+30∘)=2 \sec \left(A+30^{\circ}\right)=\sqrt{2} হলে, A A এর মান নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    x=3 \quad x=\sqrt{3} এবং y=2 y=2 হলে, প্রমাণ কর যে, 3sin⁡R⋅cos⁡R=34 \sqrt{3} \sin R \cdot \cos R=\frac{3}{4}

    (2)
  3. গ)

    P=1 P=1 হলে, β \beta এর মান নির্ণয় কর, যেখানে 0∘≤β≤90∘ 0^{\circ} \leq \beta \leq 90^{\circ}

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    sec⁡(A+30∘)=2=sec⁡45∘⇒A+30∘=45∘⇒A=15∘\sec(A+30^\circ)=\sqrt{2}=\sec45^\circ\Rightarrow A+30^\circ=45^\circ\Rightarrow A=\mathbf{15^\circ}

  2. খ)

    চিত্রে △PQR\triangle PQR সমকোণী (∠Q=90∘\angle Q=90^\circ), PQ=x=3PQ=x=\sqrt{3} এবং অতিভুজ PR=y=2PR=y=2।

    QR=PR2−PQ2=4−3=1QR=\sqrt{PR^2-PQ^2}=\sqrt{4-3}=1

    sin⁡R=PQPR=32\sin R=\frac{PQ}{PR}=\frac{\sqrt{3}}{2} এবং cos⁡R=QRPR=12\cos R=\frac{QR}{PR}=\frac{1}{2}

    বামপক্ষ =3sin⁡Rcos⁡R=3×32×12=34==\sqrt{3}\sin R\cos R=\sqrt{3}\times\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{3}{4}= ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

  3. গ)

    sin⁡β⋅cot⁡β=sin⁡β⋅cos⁡βsin⁡β=cos⁡β\sin\beta\cdot\cot\beta=\sin\beta\cdot\frac{\cos\beta}{\sin\beta}=\cos\beta, তাই P=sin⁡β+cos⁡βP=\sin\beta+\cos\beta।

    P=1P=1 হলে sin⁡β+cos⁡β=1\sin\beta+\cos\beta=1

    উভয় পক্ষ বর্গ করে, sin⁡2β+cos⁡2β+2sin⁡βcos⁡β=1⇒1+2sin⁡βcos⁡β=1⇒sin⁡βcos⁡β=0\sin^2\beta+\cos^2\beta+2\sin\beta\cos\beta=1\Rightarrow1+2\sin\beta\cos\beta=1\Rightarrow\sin\beta\cos\beta=0

    অতএব sin⁡β=0\sin\beta=0 অর্থাৎ β=0∘\beta=0^\circ, অথবা cos⁡β=0\cos\beta=0 অর্থাৎ β=90∘\beta=90^\circ।

    উত্তর: β=0∘\beta=\mathbf{0^\circ} অথবা 90∘\mathbf{90^\circ}।

    মন্তব্য: β=0∘\beta=0^\circ এ cot⁡β\cot\beta অসংজ্ঞায়িত, তাই মূল রাশিটি কেবল β=90∘\beta=90^\circ এ সংজ্ঞায়িত থাকে; সরলীকৃত রাশি sin⁡β+cos⁡β=1\sin\beta+\cos\beta=1 উভয় মান সিদ্ধ করে।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন