উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Cumilla Board • কুমিল্লা বোর্ড ২০২২

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

ABC একটি ত্রিভুজ এবং f(x)=sin⁡x f(x)=\sin x

  1. ক)

    দেখাও যে, f(A)=sin⁡Bcos⁡C+cos⁡Bsin⁡C f(A)=\sin B \cos C+\cos B \sin C

    (1)
  2. খ)

    প্রমাণ কর যে, c(cos⁡B−cos⁡A)=2(a−b)cos⁡2C2 c(\cos B-\cos A)=2(a-b) \cos ^{2} \frac{C}{2}

    (2)
  3. গ)

    প্রমাণ কর যে, f(A+B−C)+f(B+C−A) \mathrm{f}(\mathrm{A}+\mathrm{B}-\mathrm{C})+\mathrm{f}(\mathrm{B}+\mathrm{C}-\mathrm{A}) +f(C+A−B)=4sin⁡Asin⁡Bsin⁡C +f(C+A-B)=4 \sin A \sin B \sin C

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ABCABC ত্রিভুজে,
    A+B+C=π  ⟹  A=π−(B+C)A + B + C = \pi \implies A = \pi - (B + C)

    দেওয়া আছে, f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x
    অতএব,
    f(A)=sin⁡A=sin⁡(π−(B+C))=sin⁡(B+C)f(A) = \sin A = \sin(\pi - (B + C)) = \sin(B + C)
    =sin⁡Bcos⁡C+cos⁡Bsin⁡C= \sin B \cos C + \cos B \sin C
    (দেখানো হলো)

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    সাইন সূত্রানুসারে আমরা জানি,
    asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
    যেখানে RR হলো ত্রিভুজটির পরিব্যাসার্ধ।
    তাহলে, a=2Rsin⁡A,b=2Rsin⁡B,c=2Rsin⁡Ca = 2R\sin A, b = 2R\sin B, c = 2R\sin C

    বামপক্ষ =c(cos⁡B−cos⁡A)= c(\cos B - \cos A)
    =2Rsin⁡C(cos⁡B−cos⁡A)= 2R\sin C (\cos B - \cos A)
    =2R⋅2sin⁡C2cos⁡C2⋅2sin⁡A+B2sin⁡A−B2= 2R \cdot 2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2} \cdot 2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}
    যেহেতু A+B=π−CA + B = \pi - C, তাই A+B2=π2−C2\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2} এবং sin⁡A+B2=cos⁡C2\sin\frac{A+B}{2} = \cos\frac{C}{2}।

    সুতরাং,
    =2R⋅4sin⁡C2cos⁡2C2sin⁡A−B2= 2R \cdot 4\sin\frac{C}{2}\cos^2\frac{C}{2}\sin\frac{A-B}{2}
    =2⋅2Rcos⁡2C2[2sin⁡A−B2cos⁡A+B2]= 2 \cdot 2R\cos^2\frac{C}{2} \left[2\sin\frac{A-B}{2}\cos\frac{A+B}{2}\right] [যেহেতু sin⁡C2=cos⁡A+B2\sin\frac{C}{2} = \cos\frac{A+B}{2}]
    =2⋅2Rcos⁡2C2[sin⁡A−sin⁡B]= 2 \cdot 2R\cos^2\frac{C}{2} [\sin A - \sin B]
    =2cos⁡2C2[2Rsin⁡A−2Rsin⁡B]= 2\cos^2\frac{C}{2} [2R\sin A - 2R\sin B]
    =2(a−b)cos⁡2C2= 2(a - b)\cos^2\frac{C}{2}
    = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, ABCABC ত্রিভুজে A+B+C=πA + B + C = \pi এবং f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x।

    বামপক্ষ =f(A+B−C)+f(B+C−A)+f(C+A−B)= f(A+B-C) + f(B+C-A) + f(C+A-B)
    =sin⁡(A+B−C)+sin⁡(B+C−A)+sin⁡(C+A−B)= \sin(A+B-C) + \sin(B+C-A) + \sin(C+A-B)

    যেহেতু A+B+C=πA + B + C = \pi:
    A+B−C=π−C−C=π−2CA + B - C = \pi - C - C = \pi - 2C
    B+C−A=π−A−A=π−2AB + C - A = \pi - A - A = \pi - 2A
    C+A−B=π−B−B=π−2BC + A - B = \pi - B - B = \pi - 2B

    অতএব,
    =sin⁡(π−2C)+sin⁡(π−2A)+sin⁡(π−2B)= \sin(\pi - 2C) + \sin(\pi - 2A) + \sin(\pi - 2B)
    =sin⁡2C+sin⁡2A+sin⁡2B= \sin 2C + \sin 2A + \sin 2B
    =(sin⁡2A+sin⁡2B)+sin⁡2C= (\sin 2A + \sin 2B) + \sin 2C
    =2sin⁡(A+B)cos⁡(A−B)+2sin⁡Ccos⁡C= 2\sin(A + B)\cos(A - B) + 2\sin C\cos C
    =2sin⁡(π−C)cos⁡(A−B)+2sin⁡Ccos⁡C= 2\sin(\pi - C)\cos(A - B) + 2\sin C\cos C
    =2sin⁡Ccos⁡(A−B)+2sin⁡Ccos⁡C= 2\sin C\cos(A - B) + 2\sin C\cos C
    =2sin⁡C[cos⁡(A−B)+cos⁡C]= 2\sin C [\cos(A - B) + \cos C]
    যেহেতু C=π−(A+B)C = \pi - (A + B), তাই cos⁡C=−cos⁡(A+B)\cos C = -\cos(A + B):
    =2sin⁡C[cos⁡(A−B)−cos⁡(A+B)]= 2\sin C [\cos(A - B) - \cos(A + B)]
    =2sin⁡C[2sin⁡Asin⁡B]= 2\sin C [2\sin A\sin B]
    =4sin⁡Asin⁡Bsin⁡C= 4\sin A\sin B\sin C
    = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন