গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   ক্রমজোড় সমান হলে অনুরূপ উপাদান সমান। তাই $a - 2b = -1$ ... (i) এবং $a + b = 5$ ... (ii)

   (ii) $-$ (i): $3b = 6 \Rightarrow$ $b = 2$ (তখন $a = 3$)।

2. খ)

   $R = \{(x,y) : x, y \in M,\ 2x - y = 2\}$, $M = \{3,4,5,6,8\}$। এখানে $y = 2x - 2$।

   • $x = 3 \Rightarrow y = 4 \in M$ ✓
   • $x = 4 \Rightarrow y = 6 \in M$ ✓
   • $x = 5 \Rightarrow y = 8 \in M$ ✓
   • $x = 6 \Rightarrow y = 10 \notin M$ ✗
   • $x = 8 \Rightarrow y = 14 \notin M$ ✗

   $\therefore R = \{(3,4), (4,6), (5,8)\}$

   রেঞ্জ $= \{4, 6, 8\}$

3. গ)

   $\frac{P^6 + 27}{P^3} = P^3 + \frac{27}{P^3} = P^3 + \left(\frac{3}{P}\right)^3$

   দেওয়া আছে $P = \sqrt{10}+\sqrt{7}$। $\frac{3}{P} = \frac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}} = \frac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{10-7} = \sqrt{10}-\sqrt{7}$

   ধরি $a = P$, $b = \frac{3}{P}$। তাহলে $a + b = 2\sqrt{10}$ এবং $ab = 3$।

   $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b) = (2\sqrt{10})^3 - 3\cdot 3\cdot 2\sqrt{10}$
   $= 80\sqrt{10} - 18\sqrt{10} = \mathbf{62\sqrt{10}}$