O O কেন্দ্রবিশিষ্ট LMN LMN বৃত্তের উপচাপ MN MN এর উপর দ…

গণিত • Sylhet Board • সিলেট বোর্ড ২০২৬

O O কেন্দ্রবিশিষ্ট LMN LMN বৃত্তের উপচাপ MN MN এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ ∠MON \angle MON এবং বৃত্তস্থ ∠MLN \angle MLN এবং M M ও N N বিন্দুতে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক পরস্পরকে বৃত্তের বাইরে A A বিন্দুতে ছেদ করেছে।

ক)
কোনো বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ (x+25)∘ (x + 25)^\circ ও (2x−15)∘ (2x - 15)^\circ হলে, x x এর মান নির্ণয় করো।
(1)
খ)
প্রমাণ করো যে, AM=AN AM = AN .
(2)
গ)
প্রমাণ করো যে, ∠MON=2∠MLN \angle MON = 2\angle MLN .
(3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

ক)
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণগুলো পরস্পর সমান।
তাই $x + 25 = 2x - 15$
বা, $x = 40$

সুতরাং $x = \mathbf{40}$ (কোণ দুটি প্রত্যেকে $65^\circ$ )।
খ)
বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের $M, N$ বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় $A$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে $AM = AN$ ।

অঙ্কন: $O, M$ ; $O, N$ এবং $O, A$ যুক্ত করি।

প্রমাণ: $\angle OMA = \angle ONA = 90^\circ$ (স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ স্পর্শকের উপর লম্ব)।
সমকোণী $\triangle OMA$ ও $\triangle ONA$ এ অতিভুজ $OA$ সাধারণ এবং $OM = ON$ (ব্যাসার্ধ)।
তাই $\triangle OMA \cong \triangle ONA$ (সমকোণ-অতিভুজ-বাহু)।

সুতরাং $AM = AN$ । (প্রমাণিত)
গ)
বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $\angle MON$ কেন্দ্রস্থ কোণ ও $\angle MLN$ বৃত্তস্থ কোণ, উভয়ই $MN$ চাপের উপর দণ্ডায়মান। প্রমাণ করতে হবে $\angle MON = 2\angle MLN$ ।

অঙ্কন: $L, O$ যুক্ত করে $R$ পর্যন্ত বর্ধিত করি, যেন $R$ বৃত্তের উপর থাকে।

প্রমাণ: $\triangle OLM$ এ $OL = OM$ (ব্যাসার্ধ), তাই $\angle OLM = \angle OML$ ।
বহিঃস্থ $\angle MOR = \angle OLM + \angle OML = 2\angle OLM$ ...... (১)
একইভাবে $\triangle OLN$ এ $\angle NOR = 2\angle OLN$ ...... (২)

(১) ও (২) যোগ করে, $\angle MOR + \angle NOR = 2(\angle OLM + \angle OLN)$
অর্থাৎ $\angle MON = 2\angle MLN$ । (প্রমাণিত)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করো ওয়েবে খুলো

গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

সম্পর্কিত প্রশ্ন