উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত পরাবৃত্তের সমীকরণ:
   $3x^2 - 4y + 6x - 5 = 0$
   $\implies 3(x^2 + 2x) = 4y + 5$
   $\implies 3(x^2 + 2x + 1) = 4y + 5 + 3$
   $\implies 3(x + 1)^2 = 4(y + 2)$
   $\implies (x + 1)^2 = \frac{4}{3}(y + 2)$

   এটিকে $X^2 = 4aY$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,
   $X = x + 1, \; Y = y + 2, \; 4a = \frac{4}{3} \implies a = \frac{1}{3}$

   নিয়ামকরেখার সমীকরণ:
   $Y = -a$
   $\implies y + 2 = -\frac{1}{3}$
   $\implies 3(y + 2) = -1$
   $\implies 3y + 6 + 1 = 0$
   $\implies 3y + 7 = 0$

   অতএব, নির্ণেয় নিয়ামকরেখার সমীকরণ $3y + 7 = 0$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে দেওয়া আছে, শীর্ষ $A(2,3)$ এবং উপকেন্দ্র $S(2,7)$।
   যেহেতু $A$ ও $S$ বিন্দুর ভুজ একই ($x = 2$), তাই পরাবৃত্তটির অক্ষ $y$-অক্ষের সমান্তরাল।

   শীর্ষ ও উপকেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব, $a = |7 - 3| = 4$।
   যেহেতু উপকেন্দ্রের কোটি শীর্ষের কোটির চেয়ে বড় ($7 > 3$), তাই পরাবৃত্তটি $y$-অক্ষের ধনাত্মক দিকে উন্মুক্ত।

   পরাবৃত্তের সমীকরণ:
   $(x - h)^2 = 4a(y - k)$
   এখানে $(h, k) = (2, 3)$ এবং $a = 4$।
   $\implies (x - 2)^2 = 4 \cdot 4 (y - 3)$
   $\implies x^2 - 4x + 4 = 16(y - 3)$
   $\implies x^2 - 4x + 4 = 16y - 48$
   $\implies x^2 - 4x - 16y + 52 = 0$

   অতএব, পরাবৃত্তটির নির্ণেয় সমীকরণ: $x^2 - 4x - 16y + 52 = 0$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, শীর্ষ $A(-1,3)$ এবং নিয়ামকরেখা $MZ$-এর সমীকরণ: $2x - 3y + 2 = 0$ ... (i)

   পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্ব নিয়ামকরেখার সমান্তরাল।
   সুতরাং উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ হবে:
   $2x - 3y + k = 0$ ... (ii)

   আমরা জানি, শীর্ষবিন্দু $A$, নিয়ামকরেখা ও উপকেন্দ্রিক লম্বের ঠিক মধ্যবর্তী স্থানে সমদূরবর্তী অবস্থানে থাকে।
   $A(-1, 3)$ বিন্দু থেকে নিয়ামকরেখার লম্বদূরত্ব,
   $d_1 = \frac{|2(-1) - 3(3) + 2|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{|-2 - 9 + 2|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{|-9|}{\sqrt{13}} = \frac{9}{\sqrt{13}}$

   আবার, $A(-1, 3)$ বিন্দু থেকে উপকেন্দ্রিক লম্বের লম্বদূরত্ব,
   $d_2 = \frac{|2(-1) - 3(3) + k|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{|k - 11|}{\sqrt{13}}$

   যেহেতু $A$ বিন্দুটি নিয়ামক ও উপকেন্দ্রিক লম্বের মধ্যবর্তী স্থানে অবস্থিত, তাই $d_1 = d_2$ এবং নিয়ামকরেখা ও উপকেন্দ্রিক লম্বের মধ্যে $A$ অবস্থিত হওয়ায়:
   $k - 11$ এর মান $-( -9 ) = 9$ হতে হবে (কারণ নিয়ামকের ক্ষেত্রে মান ছিল $-9$)।
   অতএব, $k - 11 = 9 \implies k = 20$
   (যদি $k - 11 = -9$ হয় তবে $k = 2$, যা নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্দেশ করে)।

   সুতরাং উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ:
   $2x - 3y + 20 = 0$।