গণিত • Dinajpur Board • দিনাজপুর বোর্ড ২০২২

গণিত প্রশ্ন

যে কোনো ধনাত্মক সংখ্যা x x এর বর্গ ও তার গুণাত্মক বিপরীত সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 10

  1. ক)

    x2+14x+48 x^{2}+14 x+48 কে দুইটি বর্গের বিয়োগফলরূপে প্রকাশ কর।

    (1)
  2. খ)

    প্রমাণ কর যে, x4−1x4=406 x^{4}-\frac{1}{x^{4}}=40 \sqrt{6}

    (2)
  3. গ)

    প্রমাণ কর যে, x6−1x3=222 \frac{\mathrm{x}^{6}-1}{\mathrm{x}^{3}}=22 \sqrt{2}

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    x2+14x+48=x2+14x+49−1=(x+7)2−12x^2 + 14x + 48 = x^2 + 14x + 49 - 1 = (x+7)^2 - 1^2

    সুতরাং, দুইটি বর্গের বিয়োগফল (x+7)2−12(x+7)^2 - 1^2।

  2. খ)

    দেওয়া আছে, x2+1x2=10x^2 + \frac{1}{x^2} = 10।

    (x2−1x2)2=(x2+1x2)2−4=100−4=96\left(x^2 - \frac{1}{x^2}\right)^2 = \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)^2 - 4 = 100 - 4 = 96

    ∴x2−1x2=96=46(x>1 ধরে)\therefore x^2 - \frac{1}{x^2} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6} \quad (x > 1 \text{ ধরে})

    এখন,
    x4−1x4=(x2+1x2)(x2−1x2)=10×46=406x^4 - \frac{1}{x^4} = \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)\left(x^2 - \frac{1}{x^2}\right) = 10 \times 4\sqrt{6} = 40\sqrt{6}

    প্রমাণিত।

  3. গ)

    দেওয়া আছে, x2+1x2=10x^2 + \frac{1}{x^2} = 10।

    (x−1x)2=x2+1x2−2=10−2=8\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} - 2 = 10 - 2 = 8

    ∴x−1x=22(x>1 ধরে)\therefore x - \frac{1}{x} = 2\sqrt{2} \quad (x > 1 \text{ ধরে})

    এখন,
    x6−1x3=x3−1x3=(x−1x)3+3(x−1x)\frac{x^6 - 1}{x^3} = x^3 - \frac{1}{x^3} = \left(x - \frac{1}{x}\right)^3 + 3\left(x - \frac{1}{x}\right)

    =(22)3+3×22=162+62=222= (2\sqrt{2})^3 + 3 \times 2\sqrt{2} = 16\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 22\sqrt{2}

    প্রমাণিত।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন