গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $p^4 + p^2 - 2 = p^4 + 2p^2 - p^2 - 2 = p^2(p^2+2) - 1(p^2+2) = (p^2+2)(p^2-1) = \mathbf{(p^2+2)(p+1)(p-1)}$।

2. খ)

   $x^4 + x^2y^2 + y^4 = (x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$
   তাই $27 = 9(x^2 - xy + y^2)$ বা $x^2 - xy + y^2 = 3$ ...(১)
   আবার $x^2 + xy + y^2 = 9$ ...(২)
   (১) + (২): $2(x^2+y^2) = 12$ বা $x^2 + y^2 = 6$
   (২) − (১): $2xy = 6$ বা $xy = 3$
   তাই $3xy(x^2+y^2) = 3\times 3\times 6 = 54$। (প্রমাণিত)

3. গ)

   $l = 3^m + 3^{1-m} = 3^m + \dfrac{3}{3^m}$। $l = 4$ হলে $3^m + \dfrac{3}{3^m} = 4$।
   $3^m = t$ ধরি। তাহলে $t + \dfrac{3}{t} = 4$ বা $t^2 - 4t + 3 = 0$ বা $(t-1)(t-3) = 0$
   তাই $t = 1$ বা $t = 3$।
   $3^m = 1 = 3^0$ হলে $m = 0$; $3^m = 3 = 3^1$ হলে $m = 1$।
   অতএব, $m = \mathbf{0}$ অথবা $\mathbf{1}$।