পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: উদ্দীপকের চিত্রে প্রদর্শিত বলের মান F = 20 N হিসেবে গৃহীত হয়েছে। | ক ব্যক্তির চেয়ে খ ব্যক্তি তীরের দিকে বেশি দূরত্বে থাকায় খ ব্যক্তির গুণের কোণ ক ব্যক্তির কোণ অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর (θ_2 < θ_1)।

   কোনো অক্ষ বা বিন্দুকে কেন্দ্র করে ঘূর্ণনরত কোনো বস্তুর ওপর প্রযুক্ত বল এবং ঘূর্ণন অক্ষ থেকে বলের প্রয়োগবিন্দুর লম্ব দূরত্বের ভেক্টর গুণফলকে টর্ক (বা বলের ভ্রামক) বলে।

2. খ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: উদ্দীপকের চিত্রে প্রদর্শিত বলের মান F = 20 N হিসেবে গৃহীত হয়েছে। | ক ব্যক্তির চেয়ে খ ব্যক্তি তীরের দিকে বেশি দূরত্বে থাকায় খ ব্যক্তির গুণের কোণ ক ব্যক্তির কোণ অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর (θ_2 < θ_1)।

   প্রচলিত ভেক্টর বীজগণিত অনুসারে সমজাতীয় আয়ত একক ভেক্টরের ডট গুণন $\hat{\mathrm{i}} \cdot \hat{\mathrm{i}} = |\hat{\mathrm{i}}| |\hat{\mathrm{i}}| \cos 0^\circ = 1 \times 1 \times 1 = 1$ হয়। সুতরাং প্রশ্নে প্রদত্ত '$\hat{\mathrm{i}} \cdot \hat{\mathrm{i}} = 0$' একটি মুদ্রণজনিত ভুল; এটি মূলত '$\hat{\mathrm{i}} \times \hat{\mathrm{i}} = 0$' অথবা '$\hat{\mathrm{i}} \cdot \hat{\mathrm{j}} = 0$' হবে।

   ১. যদি ক্রস গুণন $\hat{\mathrm{i}} \times \hat{\mathrm{i}}$ হয়: দুটি সমান্তরাল ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ $\theta = 0^\circ$। ফলে ক্রস গুণনের মান $|\hat{\mathrm{i}} \times \hat{\mathrm{i}}| = |\hat{\mathrm{i}}| |\hat{\mathrm{i}}| \sin 0^\circ = 1 \times 1 \times 0 = 0$ হয়।
   ২. যদি পরস্পর লম্ব একক ভেক্টরের ডট গুণন $\hat{\mathrm{i}} \cdot \hat{\mathrm{j}}$ হয়: x ও y অক্ষদ্বয় পরস্পর লম্ব হওয়ায় $\theta = 90^\circ$। ফলে $\hat{\mathrm{i}} \cdot \hat{\mathrm{j}} = |\hat{\mathrm{i}}| |\hat{\mathrm{j}}| \cos 90^\circ = 1 \times 1 \times 0 = 0$ হয়।

3. গ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: উদ্দীপকের চিত্রে প্রদর্শিত বলের মান F = 20 N হিসেবে গৃহীত হয়েছে। | ক ব্যক্তির চেয়ে খ ব্যক্তি তীরের দিকে বেশি দূরত্বে থাকায় খ ব্যক্তির গুণের কোণ ক ব্যক্তির কোণ অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর (θ_2 < θ_1)।

   উদ্দীপকের চিত্রানুযায়ী,
   প্রযুক্ত বল, $F = 20\text{ N}$
   অনুভূমিকের সাথে কোণ, $\theta = 45^\circ$

   বলের অনুভূমিক উপাংশ,
   $F_x = F \cos\theta$
   $= 20 \times \cos 45^\circ$
   $= 20 \times \frac{1}{\sqrt{2}}$
   $\approx 14.14\text{ N}$

   অতএব, বলের অনুভূমিক উপাংশ $14.14\text{ N}$।

4. ঘ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: উদ্দীপকের চিত্রে প্রদর্শিত বলের মান F = 20 N হিসেবে গৃহীত হয়েছে। | ক ব্যক্তির চেয়ে খ ব্যক্তি তীরের দিকে বেশি দূরত্বে থাকায় খ ব্যক্তির গুণের কোণ ক ব্যক্তির কোণ অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর (θ_2 < θ_1)।

   নৌকার গুণ টানার ক্ষেত্রে অণুভূমিক বরাবর নৌকাটিকে সামনের দিকে এগিয়ে নেওয়ার জন্য বলের অনুভূমিক উপাংশ দায়ী।

   ধরি, উভয় ব্যক্তি সমান বল $F$ দ্বারা গুণ টানছেন।
   ক ব্যক্তির ক্ষেত্রে গুণের দড়িটি তুলনামূলক ছোট হওয়ায় অনুভূমিকের (পাড়ের সমান্তরালে) সাথে উৎপন্ন কোণ $\theta_1$ বড় হবে।
   খ ব্যক্তি দূরে থাকায় তার গুণের দড়িটি দীর্ঘ, ফলে অনুভূমিকের সাথে উৎপন্ন কোণ $\theta_2$ অপেক্ষাকৃত ছোট হবে। অর্থাৎ, $\theta_2 < \theta_1$।

   উভয় ব্যক্তির প্রযুক্ত বলের উপাংশ বিশ্লেষণ করলে পাই:
   ১. অনুভূমিক উপাংশ: $F_x = F \cos\theta$, যা নৌকাকে সামনে এগিয়ে নেয়।
   যেহেতু $\theta_2 < \theta_1$, তাই $\cos\theta_2 > \cos\theta_1$।
   সুতরাং, $F \cos\theta_2 > F \cos\theta_1$।
   অর্থাৎ খ ব্যক্তির প্রযুক্ত বলের অনুভূমিক উপাংশ ক ব্যক্তির চেয়ে বেশি, যা নৌকাকে দ্রুত ও সহজে সামনের দিকে চালনা করবে।

   ২. উল্লম্ব উপাংশ: $F_y = F \sin\theta$, যা নৌকাকে তীরের দিকে টানে।
   যেহেতু $\theta_2 < \theta_1$, তাই $\sin\theta_2 < \sin\theta_1$, অর্থাৎ $F \sin\theta_2 < F \sin\theta_1$। ফলে খ ব্যক্তির ক্ষেত্রে নৌকাটিকে তীরের দিকে টেনে নেওয়ার প্রবণতা কম থাকবে এবং হাল ধরে রাখা সহজ হবে।

   অতএব, গাণিতিক বিশ্লেষণ অনুযায়ী খ ব্যক্তি সহজেই নৌকাটি চালাতে পারবেন।