গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r = OP = 4.5$ সে.মি.

   বৃত্তের ক্ষেত্রফল $= \pi r^2 = 3.1416 \times (4.5)^2 = 3.1416 \times 20.25 = 63.617$ বর্গ সে.মি. (প্রায়)।

   উত্তর: প্রায় ৬৩.৬২ বর্গ সে.মি.

2. খ)

   প্রমাণ: মনে করি, $O$ বৃত্তের কেন্দ্র এবং $\angle QPS$ বৃত্তের পরিধিস্থ কোণ, যা বৃত্তচাপ $QRS$-এর ওপর দণ্ডায়মান; $\angle QOS$ একই চাপের ওপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ। $O$ কোণ $QPS$-এর অভ্যন্তরে অবস্থিত।

   অঙ্কন: $P, O$ যোগ করে $T$ পর্যন্ত বর্ধিত করি। $Q, O$ এবং $S, O$ যোগ করি।

   প্রমাণ:
   ১. $\triangle OPQ$-এ $OP = OQ$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ), তাই $\angle OPQ = \angle OQP$।
   ২. $\angle QOT$ হলো $\triangle OPQ$-এর বহিঃস্থ কোণ, তাই $\angle QOT = \angle OPQ + \angle OQP = 2\angle OPQ$।
   ৩. একইভাবে $\triangle OPS$-এ $\angle SOT = 2\angle OPS$।
   ৪. যোগ করে, $\angle QOT + \angle SOT = 2(\angle OPQ + \angle OPS)$
   অর্থাৎ $\angle QOS = 2\angle QPS$

   $\therefore \angle QPS = \dfrac{1}{2}\angle QOS$ (প্রমাণিত)

3. গ)

   প্রমাণ: $PR$ ও $QS$ জ্যা $M$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। $P, S$ যোগ করি।

   $\triangle PMS$-এর বহিঃস্থ কোণ $\angle PMQ$ (কারণ $SM$ কে $Q$ পর্যন্ত বর্ধিত করা হয়েছে)।

   $\therefore \angle PMQ = \angle MPS + \angle MSP = \angle RPS + \angle QSP \quad \cdots (১)$

   বৃত্তের একই চাপের ওপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক। তাই

   $\angle RPS = \dfrac{1}{2}\angle ROS$ (চাপ $RS$-এর ওপর) এবং $\angle QSP = \dfrac{1}{2}\angle POQ$ (চাপ $PQ$-এর ওপর)।

   (১) থেকে, $\angle PMQ = \dfrac{1}{2}\angle ROS + \dfrac{1}{2}\angle POQ$

   $\therefore 2\angle PMQ = \angle POQ + \angle ROS$

   অর্থাৎ $\angle POQ + \angle ROS = 2\angle PMQ$ (প্রমাণিত)