উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

(1)
পরাবৃত্ত: $x^2-8x+py+7=0$। বর্গ পূর্ণ করে $(x-4)^2=16-7-py=9-py$, অর্থাৎ $(x-4)^2=-p\left(y-\frac9p\right)$।

$(x-h)^2=4a(y-k)$ রূপের সাথে তুলনা করে শীর্ষ $\left(4,\frac9p\right)$ এবং $4a=-p$, অতএব $a=-\frac p4$। উপকেন্দ্র $(h,k+a)=\left(4,\frac9p-\frac p4\right)$।

উপকেন্দ্র $(4,4)$ হলে $\frac9p-\frac p4=4$। $4p$ দিয়ে গুণ করে $36-p^2=16p$, অর্থাৎ $p^2+16p-36=0$ বা $(p-2)(p+18)=0$।

অতএব $p=2$ অথবা $p=-18$। (যাচাই: $p=2$ এ $\frac92-\frac12=4$; $p=-18$ এ $-\frac12+\frac{18}4=4$। দুটিই সিদ্ধ।)