উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos 15x}{2x^2}$
   $= \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2\left(\frac{15x}{2}\right)}{2x^2}$
   $= \lim_{x \to 0} \left\{\frac{\sin\left(\frac{15x}{2}\right)}{\frac{15x}{2}}\right\}^2 \times \left(\frac{15}{2}\right)^2$
   $= 1^2 \times \frac{225}{4} = \frac{225}{4}$

   অতএব, নির্ণেয় মান $\frac{225}{4}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক হতে,
   $g(x) = 2x$ এবং $h(x) = \frac{1}{2x}$

   $\therefore \varphi(x) = g(x) + h(x) = 2x + \frac{1}{2x}$

   অন্তরীকরণ করে পাই,
   $\varphi'(x) = 2 - \frac{1}{2x^2}$
   $\varphi''(x) = 0 - \frac{1}{2}(-2x^{-3}) = \frac{1}{x^3}$

   চরম মানের জন্য, $\varphi'(x) = 0$
   $\implies 2 - \frac{1}{2x^2} = 0$
   $\implies \frac{1}{2x^2} = 2$
   $\implies 4x^2 = 1$
   $\implies x^2 = \frac{1}{4}$
   $\implies x = \pm \frac{1}{2}$

   যখন $x = \frac{1}{2}$:
   $\varphi''\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^3} = 8 > 0$
   সুতরাং, $x = \frac{1}{2}$ বিন্দুতে ফাংশনটির লঘিষ্ঠ মান বিদ্যমান।
   $\therefore$ লঘিষ্ঠ মান $= \varphi\left(\frac{1}{2}\right) = 2\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2\left(\frac{1}{2}\right)} = 1 + 1 = 2$

   যখন $x = -\frac{1}{2}$:
   $\varphi''\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{\left(-\frac{1}{2}\right)^3} = -8 < 0$
   সুতরাং, $x = -\frac{1}{2}$ বিন্দুতে ফাংশনটির গরিষ্ঠ মান বিদ্যমান।
   $\therefore$ গরিষ্ঠ মান $= \varphi\left(-\frac{1}{2}\right) = 2\left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2\left(-\frac{1}{2}\right)} = -1 - 1 = -2$

   অতএব, গরিষ্ঠ মান $-2$ এবং লঘিষ্ঠ মান $2$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক হতে,
   $g(x) = 2x$ এবং $h(x) = \frac{1}{2x}$

   $\therefore \frac{1}{2}g(x) = \frac{1}{2}(2x) = x$
   এবং $\frac{1}{2h(x)} = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2x}} = x$

   সুতরাং,
   $y = \left\{\frac{1}{2}g(x)\right\}^{\frac{1}{2h(x)}} = x^x$

   উভয়পক্ষে স্বাভাবিক লগারিদম নিয়ে পাই,
   $\ln y = \ln(x^x) = x\ln x$

   $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x\ln x)$
   $\implies \frac{1}{y}y_1 = x \cdot \frac{1}{x} + \ln x \cdot 1$
   $\implies \frac{1}{y}y_1 = 1 + \ln x$
   $\implies y_1 = y(1 + \ln x)$

   পুনরায় $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $y_2 = \frac{d}{dx}[y(1 + \ln x)]$
   $\implies y_2 = y_1(1 + \ln x) + y \cdot \frac{d}{dx}(1 + \ln x)$
   $\implies y_2 = y(1 + \ln x)(1 + \ln x) + y \cdot \frac{1}{x}$
   $\implies y_2 = y\left[(1 + \ln x)^2 + \frac{1}{x}\right]$
   $\implies y_2 = x^x \left[(1 + \ln x)^2 + \frac{1}{x}\right]$

   অতএব, $y_2 = x^x \left[(1 + \ln x)^2 + \frac{1}{x}\right]$।