গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $M = 4^{2p+1} = 128$
   $\Rightarrow (2^2)^{2p+1} = 2^7 \Rightarrow 2^{4p+2} = 2^7$
   $\Rightarrow 4p + 2 = 7 \Rightarrow 4p = 5$

   $\therefore p = \mathbf{\frac{5}{4}}$

2. খ)

   $L = \frac{q^{x+1}}{(q^x)^{x-1}} \div \frac{(3q)^{x+1}}{(q^{x-1})^{x+1}} \div q^{-2}$

   প্রথম ভগ্নাংশ $= q^{x+1 - x(x-1)} = q^{-x^2 + 2x + 1}$

   দ্বিতীয় ভগ্নাংশ $= \frac{3^{x+1}q^{x+1}}{q^{(x-1)(x+1)}} = 3^{x+1}q^{x+1-x^2+1} = 3^{x+1}q^{-x^2+x+2}$

   $L = \frac{q^{-x^2+2x+1}}{3^{x+1}q^{-x^2+x+2}} \times q^2 = 3^{-(x+1)}q^{x-1+2} = \frac{q^{x+1}}{3^{x+1}} = \left(\frac{q}{3}\right)^{x+1}$

   $q = 3$ হলে $L = 1^{x+1} = \mathbf{1}$

3. গ)

   $Q = \log_{10}x + \log_{10}(x-3) = 1$
   $\Rightarrow \log_{10}\{x(x-3)\} = \log_{10}10$
   $\Rightarrow x^2 - 3x = 10 \Rightarrow x^2 - 3x - 10 = 0$
   $\Rightarrow (x-5)(x+2) = 0 \Rightarrow x = 5$ অথবা $x = -2$

   লগারিদমের জন্য $x > 0$ ও $x - 3 > 0$ অর্থাৎ $x > 3$ হতে হবে। তাই $x = -2$ গ্রহণযোগ্য নয়।

   $x = 5$