গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

14.1.
দেওয়া আছে, $A = \frac{1}{5}$
$\therefore 4A = \frac{4}{5}$

এখন, $\tan^{-1}(4A) - \frac{1}{2}\sin^{-1}(4A) + \tan^{-1}\left(\frac{14}{3}\right)$
ধরি, $\sin^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) = 2\theta$
$\implies \sin 2\theta = \frac{4}{5} \implies \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta} = \frac{4}{5}$
$\implies 4\tan^2\theta - 10\tan\theta + 4 = 0$
$\implies 2\tan^2\theta - 5\tan\theta + 2 = 0$
$\implies (2\tan\theta - 1)(\tan\theta - 2) = 0$
যেহেতু $2\theta = \sin^{-1}(4/5) < \pi/2$, তাই $\theta < \pi/4$, সুতরাং $\tan\theta = \frac{1}{2}$
$\therefore \frac{1}{2}\sin^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) = \theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$

প্রদত্ত রাশি:
$= \tan^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{14}{3}\right)$
$= \tan^{-1}\left(\frac{\frac{4}{5} - \frac{1}{2}}{1 + \frac{4}{5}\cdot\frac{1}{2}}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{14}{3}\right)$
$= \tan^{-1}\left(\frac{\frac{3}{10}}{\frac{14}{10}}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{14}{3}\right)$
$= \tan^{-1}\left(\frac{3}{14}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{14}{3}\right)$
$= \tan^{-1}\left(\frac{3}{14}\right) + \cot^{-1}\left(\frac{3}{14}\right) = \frac{\pi}{2}$

উত্তর: $\frac{\pi}{2}$

---

14.2.
সমাধান:
$\tan x \tan 2x = 1$
$\implies \tan 2x = \cot x = \tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$
$\implies 2x = n\pi + \left(\frac{\pi}{2} - x\right), \quad n \in \mathbb{Z}$
$\implies 3x = n\pi + \frac{\pi}{2} = (2n+1)\frac{\pi}{2}$
$\implies x = (2n+1)\frac{\pi}{6}, \quad n \in \mathbb{Z}$

তবে শর্তানুসারে, $\tan x$ ও $\tan 2x$ সংজ্ঞায়িত হতে হবে।
যদি $2n+1$, $3$-এর গুণিতক হয়, অর্থাৎ $2n+1 = 3(2k+1)$ হয়, তবে $x = (2k+1)\frac{\pi}{2}$, যার জন্য $\tan x$ অসংজ্ঞায়িত।
সুতরাং, $2n+1 \neq 3(2k+1)$, অর্থাৎ $n \neq 3k+1$।
অতএব, নির্ণেয় সমাধান:
$x = (2n+1)\frac{\pi}{6}$, যেখানে $n \in \mathbb{Z}$ এবং $n \neq 3k+1$ ($k \in \mathbb{Z}$)।