উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: চিত্রে চিহ্নিত ডটসমূহ যথাক্রমে মূলবিন্দু O(0, 0), অক্ষদ্বয়ের সাথে 3x - 4y = 8 রেখার ছেদবিন্দু A(8/3, 0) ও B(0, -2) এবং উভয় রেখার সাধারণ ছেদবিন্দু C নির্দেশ করে। | উচ্চতর গণিত ১ম পত্রের সৃজনশীল কাঠামো অনুসারে ৩টি অংশ (ক, খ, গ) প্রযোজ্য; 'gha' অংশটি তথ্যের ত্রুটিজনিত অতিরিক্ত অংশ।

   চিত্রে $3x - 4y = 8$ রেখাটির অক্ষদ্বয়ের ছেদবিন্দুতে ডট চিহ্ন দেওয়া রয়েছে।
   $3x - 4y = 8$ রেখাটির জন্য:
   $y = 0$ হলে, $x = \frac{8}{3} \implies A\left(\frac{8}{3}, 0\right)$
   $x = 0$ হলে, $y = -2 \implies B(0, -2)$
   এবং মূলবিন্দু $O(0, 0)$।

   $\therefore \triangle OAB$ এর ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \times \left| \frac{8}{3} \times (-2) - 0 \right| = \frac{8}{3}$ বর্গ একক।
   (বিকল্পভাবে, অপর রেখা $4x - 3y + 12 = 0$ অক্ষদ্বয়কে $(-3, 0)$ ও $(0, 4)$ বিন্দুতে ছেদ করায় ক্ষেত্রফল $\frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$ বর্গ একক হতে পারে)।

2. খ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: চিত্রে চিহ্নিত ডটসমূহ যথাক্রমে মূলবিন্দু O(0, 0), অক্ষদ্বয়ের সাথে 3x - 4y = 8 রেখার ছেদবিন্দু A(8/3, 0) ও B(0, -2) এবং উভয় রেখার সাধারণ ছেদবিন্দু C নির্দেশ করে। | উচ্চতর গণিত ১ম পত্রের সৃজনশীল কাঠামো অনুসারে ৩টি অংশ (ক, খ, গ) প্রযোজ্য; 'gha' অংশটি তথ্যের ত্রুটিজনিত অতিরিক্ত অংশ।

   রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু $C$ নির্ণয়:
   $4x - 3y + 12 = 0$ ...(1)
   $3x - 4y - 8 = 0$ ...(2)

   (1) $\times 4 - (2) \times 3$ করে পাই:
   $7x + 72 = 0 \implies x = -\frac{72}{7}$
   (2) নং সমীকরণে $x$-এর মান বসিয়ে পাই:
   $3\left(-\frac{72}{7}\right) - 4y - 8 = 0 \implies y = -\frac{68}{7}$
   অতএব, $C$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $\left(-\frac{72}{7}, -\frac{68}{7}\right)$।

   $x - y + 2 = 0$ রেখার সমান্তরাল রেখার সমীকরণ:
   $x - y + k = 0$

   রেখাটি $C\left(-\frac{72}{7}, -\frac{68}{7}\right)$ বিন্দুগামী হওয়ায়:
   $-\frac{72}{7} - \left(-\frac{68}{7}\right) + k = 0 \implies k = \frac{4}{7}$

   $\therefore$ নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ: $7x - 7y + 4 = 0$।

3. গ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: চিত্রে চিহ্নিত ডটসমূহ যথাক্রমে মূলবিন্দু O(0, 0), অক্ষদ্বয়ের সাথে 3x - 4y = 8 রেখার ছেদবিন্দু A(8/3, 0) ও B(0, -2) এবং উভয় রেখার সাধারণ ছেদবিন্দু C নির্দেশ করে। | উচ্চতর গণিত ১ম পত্রের সৃজনশীল কাঠামো অনুসারে ৩টি অংশ (ক, খ, গ) প্রযোজ্য; 'gha' অংশটি তথ্যের ত্রুটিজনিত অতিরিক্ত অংশ।

   উদ্দীপকের রেখাদ্বয়:
   $4x - 3y + 12 = 0$ ...(1)
   $3x - 4y - 8 = 0$ ...(2)

   অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখণ্ডকদ্বয়ের সমীকরণ:
   $\frac{4x - 3y + 12}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \pm \frac{3x - 4y - 8}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \implies 4x - 3y + 12 = \pm (3x - 4y - 8)$

   (+) নিয়ে পাই, $x + y + 20 = 0$; যার ঢাল $m_1 = -1$
   (-) নিয়ে পাই, $7x - 7y + 4 = 0$; যার ঢাল $m_2 = 1$

   এখানে, $m_1 \times m_2 = (-1) \times 1 = -1$
   যেহেতু সমদ্বিখণ্ডকদ্বয়ের ঢালের গুণফল $-1$, তাই সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় পরস্পর লম্ব। (দেখানো হলো)