গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   প্রমাণ: ধরি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB ব্যাস এবং C বৃত্তের ওপর যেকোনো বিন্দু। প্রমাণ করতে হবে $\angle ACB = 90^\circ$।

   O, C যোগ করি।
   $OA = OC$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ), তাই $\angle OAC = \angle OCA$ ... (i)
   $OB = OC$, তাই $\angle OBC = \angle OCB$ ... (ii)

   (i) ও (ii) যোগ করে, $\angle OAC + \angle OBC = \angle OCA + \angle OCB = \angle ACB$।

   $\triangle ABC$ এ, $\angle CAB + \angle CBA + \angle ACB = 180^\circ$
   $\Rightarrow \angle ACB + \angle ACB = 180^\circ \Rightarrow 2\angle ACB = 180^\circ$

   $\therefore \angle ACB = 90^\circ$। অর্থাৎ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ। (প্রমাণিত)

2. খ)

   প্রমাণ: M কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। B, M ও D যোগ করি।

   BCD চাপ ও BAD চাপ মিলে সম্পূর্ণ বৃত্ত গঠন করে। ধরি, BCD চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ $x$ এবং BAD চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ $y$। তাহলে $x + y = 360^\circ$।

   একই চাপের ওপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক। তাই,

   $\angle BAD = \frac{x}{2}$ (BCD চাপের ওপর বৃত্তস্থ কোণ) এবং
   $\angle BCD = \frac{y}{2}$ (BAD চাপের ওপর বৃত্তস্থ কোণ)।

   $\angle BAD + \angle BCD = \frac{x + y}{2} = \frac{360^\circ}{2} = 180^\circ = 2 \text{ সমকোণ}$

   (প্রমাণিত)

3. গ)

   প্রমাণ: O, E; O, F এবং O, P যোগ করি। OP ও EF এর ছেদবিন্দু Q।

   স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ স্পর্শকের ওপর লম্ব, তাই $\angle OEP = \angle OFP = 90^\circ$।

   সমকোণী $\triangle OEP$ ও $\triangle OFP$ এ,
   অতিভুজ $OP = OP$ (সাধারণ বাহু),
   $OE = OF$ (ব্যাসার্ধ)।

   $\therefore \triangle OEP \cong \triangle OFP$ (অতিভুজ-বাহু)।

   $\therefore \angle EOP = \angle FOP$, অর্থাৎ $\angle EOQ = \angle FOQ$।

   এখন $\triangle OEQ$ ও $\triangle OFQ$ এ,
   $OE = OF$, $OQ = OQ$ (সাধারণ বাহু) এবং $\angle EOQ = \angle FOQ$।

   $\therefore \triangle OEQ \cong \triangle OFQ$ (বাহু-কোণ-বাহু)।

   $\therefore EQ = FQ$ এবং $\angle OQE = \angle OQF$। যেহেতু এ কোণ দুটি রৈখিক জোড়া, প্রতিটি $90^\circ$।

   অতএব OP রেখাংশ স্পর্শ জ্যা EF কে সমদ্বিখণ্ডিত করে এবং EF এর ওপর লম্ব। (প্রমাণিত)