গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   ঘনকের বাহু $a$ হলে সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $6a^2=18$ বা, $a^2=3$ বা, $a=\sqrt3$ সে.মি.।

   আয়তন $=a^3=(\sqrt3)^3=3\sqrt3=\mathbf{5.196}$ ঘন সে.মি. (প্রায়)

2. খ)

   মনে করি, বৃত্তকলার কেন্দ্রীয় কোণ $\angle DAB=\theta$, ব্যাসার্ধ $r=AB=4$ সে.মি.।

   বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল $=\frac\theta{360^\circ}\pi r^2=\frac{8\pi}3$ বা, $\frac\theta{360^\circ}\times16\pi=\frac{8\pi}3$ বা, $\frac\theta{360^\circ}=\frac16$ বা, $\theta=60^\circ$।

   $BFD$ চাপের দৈর্ঘ্য $=\frac{\theta}{360^\circ}\times2\pi r=\frac16\times2\pi\times4=\mathbf{\frac{4\pi}3}$ সে.মি. $\approx4.19$ সে.মি.

3. গ)

   ধরা হলো, গাঢ় অংশ হলো $ADCE$ ট্রাপিজিয়ামের যে অংশ বৃত্তকলা $ABFD$-এর বাইরে (রম্বসের অংশ ও $\triangle BCE$ মিলে)।

   $\angle DAB=60^\circ$ এবং $BC\parallel AD$, তাই অনুরূপ কোণ $\angle CBE=\angle DAB=60^\circ$।

   সমকোণী $\triangle BCE$-এ ($\angle E=90^\circ$), $BC=AB=4$ সে.মি.:

   $BE=BC\cos60^\circ=4\times\frac12=2$ সে.মি., $CE=BC\sin60^\circ=4\times\frac{\sqrt3}2=2\sqrt3$ সে.মি.।

   $\triangle BCE$-এর ক্ষেত্রফল $=\frac12\times2\times2\sqrt3=2\sqrt3$ বর্গ সে.মি.।

   রম্বস $ABCD$-এর ক্ষেত্রফল $=AB\times CE=4\times2\sqrt3=8\sqrt3$ বর্গ সে.মি.।

   বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল $=\frac{8\pi}3$ বর্গ সে.মি.।

   $\therefore$ গাঢ় অংশের ক্ষেত্রফল $=8\sqrt3+2\sqrt3-\frac{8\pi}3=10\sqrt3-\frac{8\pi}3=17.32-8.38=\mathbf{8.94}$ বর্গ সে.মি. (প্রায়)