23−sin⁡2θ+13+2tan⁡2θ=p frac23 - sin^2 theta + frac13 + … | প্রশ্ন

গণিত • Jashore Board • যশোর বোর্ড ২০২৬

23−sin⁡2θ+13+2tan⁡2θ=p \frac{2}{3 - \sin^2 \theta} + \frac{1}{3 + 2 \tan^2 \theta} = p এবং 2sin⁡2A−3sin⁡A+1=q 2\sin^2 A - 3\sin A + 1 = q .

ক)
প্রমাণ কর যে, 11+cos⁡R+11−cos⁡R=2cosec⁡2R \frac{1}{1 + \cos R} + \frac{1}{1 - \cos R} = 2\operatorname{cosec}^2 R .
(1)
খ)
প্রমাণ কর যে, p=1 p = 1 .
(2)
গ)
q=0 q = 0 হলে, A A এর মান নির্ণয় কর, যেখানে A A সূক্ষ্মকোণ।
(3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

ক)
বামপক্ষ $=\dfrac1{1+\cos R}+\dfrac1{1-\cos R}=\dfrac{(1-\cos R)+(1+\cos R)}{(1+\cos R)(1-\cos R)}=\dfrac2{1-\cos^2R}=\dfrac2{\sin^2R}=2\operatorname{cosec}^2R=$ ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)
খ)
$3+2\tan^2\theta=\dfrac{3\cos^2\theta+2\sin^2\theta}{\cos^2\theta}=\dfrac{2+\cos^2\theta}{\cos^2\theta}$ (কারণ $2\sin^2\theta+2\cos^2\theta=2$ )

আবার $3-\sin^2\theta=2+(1-\sin^2\theta)=2+\cos^2\theta$

সুতরাং $p=\dfrac2{2+\cos^2\theta}+\dfrac{\cos^2\theta}{2+\cos^2\theta}=\dfrac{2+\cos^2\theta}{2+\cos^2\theta}=1$ । (প্রমাণিত)
গ)
$q=0$ হলে $2\sin^2A-3\sin A+1=0$

বা, $2\sin^2A-2\sin A-\sin A+1=0$

বা, $2\sin A(\sin A-1)-1(\sin A-1)=0$

বা, $(2\sin A-1)(\sin A-1)=0$

$\therefore\sin A=\dfrac12$ অথবা $\sin A=1$

$\sin A=\dfrac12$ হলে $A=30^\circ$ ; $\sin A=1$ হলে $A=90^\circ$ , যা সূক্ষ্মকোণ নয়।

সুতরাং, $A=\mathbf{30^\circ}$ ।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও