গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   সংখ্যা দুইটি $3k$ ও $5k$, যেখানে গ.সা.গু. $k=7$। বড় সংখ্যা $=5\times7=\mathbf{৩৫}$।

2. খ)

   পরিবর্তনের পর দৈর্ঘ্য $=a\times\frac{95}{100}=0.95a$ এবং প্রস্থ $=b\times\frac{102}{100}=1.02b$

   নতুন ক্ষেত্রফল $=0.95a\times1.02b=0.969ab$

   ক্ষেত্রফলের পরিবর্তন $=ab-0.969ab=0.031ab$, অর্থাৎ $\frac{0.031ab}{ab}\times100\%=3.1\%$

   অতএব ক্ষেত্রফল শতকরা $\mathbf{৩.১}$ ভাগ হ্রাস পাবে।

3. গ)

   আয়তক্ষেত্রের কর্ণ $=\sqrt{a^2+b^2}$, কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল $=a^2+b^2$।

   শর্ত অনুযায়ী $ab=\frac{1}{m}(a^2+b^2)\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}=m$, অর্থাৎ $\frac{a^2+b^2}{2ab}=\frac{m}{2}$

   যোজন-বিয়োজন করে, $\frac{a^2+b^2+2ab}{a^2+b^2-2ab}=\frac{m+2}{m-2}$, অর্থাৎ $\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}=\frac{m+2}{m-2}$

   বর্গমূল নিয়ে (ধরি $a>b$), $\frac{a+b}{a-b}=\frac{\sqrt{m+2}}{\sqrt{m-2}}$

   আবার যোজন-বিয়োজন করে, $\frac{(a+b)+(a-b)}{(a+b)-(a-b)}=\frac{\sqrt{m+2}+\sqrt{m-2}}{\sqrt{m+2}-\sqrt{m-2}}$

   $\Rightarrow\frac{2a}{2b}=\ldots$, অতএব $a:b=\left(\sqrt{m+2}+\sqrt{m-2}\right):\left(\sqrt{m+2}-\sqrt{m-2}\right)$ (প্রমাণিত)