উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণ:
   (\frac{1}{3}x + 5y + 8 = 0 \implies x + 15y + 24 = 0)

   এই রেখার সমান্তরাল যেকোনো রেখার সমীকরণ:
   (x + 15y + k = 0) ..... (i)

   রেখাটি ((3, 6)) বিন্দুগামী হওয়ায়,
   (3 + 15(6) + k = 0)
   (\implies 3 + 90 + k = 0)
   (\implies k = -93)

   (k) এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
   (x + 15y - 93 = 0) (বা, (\frac{1}{3}x + 5y - 31 = 0))

   নির্ণেয় সমীকরণ: (x + 15y - 93 = 0)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের চিত্রে (AB) সরলরেখাটি (P(-10, -5)) ও (Q(2, 4)) বিন্দুগামী।

   (P) ও (Q) বিন্দুগামী রেখার সমীকরণ:
   (\frac{y - (-5)}{x - (-10)} = rac{4 - (-5)}{2 - (-10)})
   (\implies \frac{y + 5}{x + 10} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4})
   (\implies 4y + 20 = 3x + 30)
   (\implies 3x - 4y + 10 = 0)

   রেখাটিকে আদর্শ আকারে রূপান্তর করে পাই:
   (3x - 4y = -10)
   (\implies \frac{x}{-\frac{10}{3}} + \frac{y}{\frac{5}{2}} = 1)

   অতএব, রেখাটি (x)-অক্ষকে (A\left(-\frac{10}{3}, 0\right)) এবং (y)-অক্ষকে (B\left(0, \frac{5}{2}\right)) বিন্দুতে ছেদ করে।

   মূলবিন্দু (O(0, 0))।
   সুতরাং, (\Delta OAB) এর ক্ষেত্রফল:
   (= \frac{1}{2} \times |OA| \times |OB|)
   (= \frac{1}{2} \times \left|-\frac{10}{3}\right| \times \frac{5}{2})
   (= \frac{1}{2} \times \frac{10}{3} \times \frac{5}{2} = \frac{25}{6}) বর্গ একক।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুযায়ী, (OC) রেখা মূলবিন্দুগামী এবং এর ঢাল (m = -\frac{4}{3})।
   সুতরাং (OC) রেখার সমীকরণ:
   (y = -\frac{4}{3}x \implies 4x + 3y = 0) ..... (i)

   (x)-অক্ষের সমীকরণ:
   (y = 0) ..... (ii)

   (i) ও (ii) নং রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণসমূহের সমদ্বিখণ্ডকদ্বয়ের সমীকরণ:
   (\frac{4x + 3y}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \pm \frac{y}{\sqrt{0^2 + 1^2}})
   (\implies \frac{4x + 3y}{5} = \pm y)

   ধনাত্মক (+) চিহ্ন নিয়ে পাই:
   (4x + 3y = 5y \implies 4x - 2y = 0 \implies 2x - y = 0)
   এই রেখার ঢাল, (m_1 = -\frac{2}{-1} = 2)

   ঋণাত্মক (-) চিহ্ন নিয়ে পাই:
   (4x + 3y = -5y \implies 4x + 8y = 0 \implies x + 2y = 0)
   এই রেখার ঢাল, (m_2 = -\frac{1}{2})

   এখন, সমদ্বিখণ্ডকদ্বয়ের ঢালদ্বয়ের গুণফল:
   (m_1 \times m_2 = 2 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -1)

   যেহেতু ঢালদ্বয়ের গুণফল (-1), সেহেতু সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় পরস্পর লম্ব। (দেখানো হলো)