গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $\tan A=\frac{3}{4}$ হলে লম্ব $=3$, ভূমি $=4$, অতএব অতিভুজ $=\sqrt{3^2+4^2}=5$।

   $\sin A=\frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}}=\mathbf{\frac{3}{5}}$

2. খ)

   $\frac{\tan\theta+\sec\theta}{\tan\theta-\sec\theta}=\frac{\sin\theta+1}{\sin\theta-1}$ [লব ও হরকে $\cos\theta$ দিয়ে গুণ করে]

   শর্ত: $\frac{\sin\theta+1}{\sin\theta-1}=\frac{x+y}{x-y}$

   যোজন-বিয়োজন করে, $\frac{2\sin\theta}{2}=\frac{2x}{2y}\Rightarrow\sin\theta=\frac{x}{y}$

   $x=1$, $y=\sqrt{2}$ হলে $\sin\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}=\sin45^\circ$

   অতএব $\theta=\mathbf{45^\circ}$।

3. গ)

   দেওয়া আছে $\cos\alpha-\sin\alpha=\sqrt{2}\sin\alpha\Rightarrow\cos\alpha=(\sqrt{2}+1)\sin\alpha$

   তাই $\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\sqrt{2}+1$ ...(১)

   বামপক্ষ $=\frac{\cos\alpha-\sin\alpha}{\cos\alpha+\sin\alpha}=\frac{\cot\alpha-1}{\cot\alpha+1}$ [লব ও হরকে $\sin\alpha$ দিয়ে ভাগ করে]

   $=\frac{\sqrt{2}+1-1}{\sqrt{2}+1+1}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+2}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}(1+\sqrt{2})}=\frac{1}{1+\sqrt{2}}$

   ডানপক্ষ $=\tan\alpha=\frac{1}{\cot\alpha}=\frac{1}{\sqrt{2}+1}$

   অতএব বামপক্ষ $=$ ডানপক্ষ, অর্থাৎ $\frac{\cos\alpha-\sin\alpha}{\cos\alpha+\sin\alpha}=\tan\alpha$ (প্রমাণিত)।