গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   মনে করি, $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r$। $AB$ একটি ব্যাস এবং $CD$ ব্যাস ভিন্ন যেকোনো একটি জ্যা। তাহলে $AB=2r$।

   $O,C$ ও $O,D$ যোগ করি। $\triangle OCD$ এ $OC+OD>CD$ (ত্রিভুজের দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বড়)।

   কিন্তু $OC=OD=r$, তাই $2r>CD$, অর্থাৎ $AB>CD$।

   কেন্দ্রগামী জ্যা-ই ব্যাস। সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা। (প্রমাণিত)

2. খ)

   চিত্রে $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $DE$ চাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle DOE$ এবং বৃত্তস্থ কোণ $\angle DFE$। প্রমাণ করতে হবে $\angle DOE=2\angle DFE$।

   অঙ্কন: $F,O$ যোগ করে $G$ পর্যন্ত বাড়াই যেন $G$ বৃত্তের উপর থাকে।

   প্রমাণ: $\triangle OFD$ এ $OF=OD$ (ব্যাসার্ধ), তাই $\angle OFD=\angle ODF$। বহিঃস্থ কোণ $\angle DOG=\angle OFD+\angle ODF=2\angle OFD$ ...(i)

   একইভাবে $\triangle OFE$ এ $\angle EOG=2\angle OFE$ ...(ii)

   (i) ও (ii) যোগ করে, $\angle DOG+\angle EOG=2(\angle OFD+\angle OFE)$

   অর্থাৎ $\angle DOE=2\angle DFE$। (প্রমাণিত)

3. গ)

   চিত্রে $CD$ ও $CE$ বৃত্তের স্পর্শক এবং $O$ কেন্দ্র। $CO$ রেখাংশ $DE$ কে $G$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে $CO$ রেখাংশ $DE$ এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক।

   অঙ্কন: $O,D$ ও $O,E$ যোগ করি।

   প্রমাণ: স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ স্পর্শকের উপর লম্ব, তাই $\angle ODC=\angle OEC=90^\circ$।

   সমকোণী $\triangle ODC$ ও $\triangle OEC$ এ $OC$ সাধারণ অতিভুজ এবং $OD=OE$ (ব্যাসার্ধ)।

   সুতরাং $\triangle ODC\cong\triangle OEC$ (অতিভুজ-বাহু)। অতএব $CD=CE$ এবং $\angle DCO=\angle ECO$।

   এখন $\triangle CDG$ ও $\triangle CEG$ এ $CD=CE$, $\angle DCG=\angle ECG$ এবং $CG$ সাধারণ বাহু।

   সুতরাং $\triangle CDG\cong\triangle CEG$ (বাহু-কোণ-বাহু)।

   অতএব $DG=EG$ এবং $\angle CGD=\angle CGE$। যেহেতু $\angle CGD+\angle CGE=180^\circ$, তাই প্রতিটি $90^\circ$।

   সুতরাং, $CO$ রেখাংশ $DE$ এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক। (প্রমাণিত)