গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $p, q, r$ ক্রমিক সমানুপাতী, তাই $q^2 = pr$। ধরি $q = pk$, $r = pk^2$।

   বামপক্ষ $= \frac{p^2 + p^2k^2}{p^2k^2 + p^2k^4} = \frac{p^2(1+k^2)}{p^2k^2(1+k^2)} = \frac{1}{k^2}$

   ডানপক্ষ $= \frac{(p + pk)^2}{(pk + pk^2)^2} = \frac{p^2(1+k)^2}{p^2k^2(1+k)^2} = \frac{1}{k^2}$

   $\therefore \frac{p^2+q^2}{q^2+r^2} = \frac{(p+q)^2}{(q+r)^2}$ (প্রমাণিত)

2. খ)

   $M + N = 2$ হলে $\frac{x+3p}{x-3p} + \frac{x+3q}{x-3q} = 2$

   ধরি $u = \frac{x}{3p}$, $v = \frac{x}{3q}$। তাহলে $\frac{u+1}{u-1} + \frac{v+1}{v-1} = 2$

   $\Rightarrow 2uv - 2 = 2uv - 2u - 2v + 2 \Rightarrow u + v = 2$

   $\Rightarrow \frac{x}{3p} + \frac{x}{3q} = 2 \Rightarrow \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{6}{x}$

   $\therefore 6x^{-1} = p^{-1} + q^{-1}$ (প্রমাণিত)

3. গ)

   বিঃদ্রঃ: প্রশ্নে শর্তটি $a^2b - 2a + b = 0$ হলেই ফলাফলটি মেলে (মূল প্রশ্নে চিহ্নের ছাপার ভুল আছে বলে ধরা হলো)। এ শর্তে:

   $a^2b + b = 2a \Rightarrow b(a^2+1) = 2a \Rightarrow \frac{a^2+1}{2a} = \frac{1}{b}$

   যোজন-বিয়োজন করে, $\frac{(a+1)^2}{(a-1)^2} = \frac{1+b}{1-b}$
   $\Rightarrow \frac{a+1}{a-1} = \frac{\sqrt{1+b}}{\sqrt{1-b}}$

   আবার যোজন-বিয়োজন করে, $\frac{(a+1)+(a-1)}{(a+1)-(a-1)} = \frac{\sqrt{1+b}+\sqrt{1-b}}{\sqrt{1+b}-\sqrt{1-b}}$

   $\therefore a = \frac{\sqrt{1+b}+\sqrt{1-b}}{\sqrt{1+b}-\sqrt{1-b}}$ (প্রমাণিত)

   (প্রদত্ত $+2a$ নিলে একই পদ্ধতিতে $a$ এর মান এ রাশির ঋণাত্মক হয়।)