উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ব্যাগে মোট বলের সংখ্যা $= 4 + 5 = 9$ টি।
   নিরপেক্ষভাবে ৩টি বল তোলার মোট উপায় $= {}^{9}C_{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$

   ৩টি বলই কালো বল (মোট ৫টি কালো বল থেকে) তোলার অনুকূল উপায় $= {}^{5}C_{3} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

   অতএব, ৩টি বলই কালো হওয়ার সম্ভাব্যতা:
   $P(\text{৩টিই কালো}) = \frac{{}^{5}C_{3}}{{}^{9}C_{3}} = \frac{10}{84} = \frac{5}{42}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, তুলির অংকটি সমাধান করার ঘটনা $T$ এবং পলির সমাধান করার ঘটনা $P$।
   দেওয়া আছে,
   $P(T) = \frac{1}{3}$
   $P(P) = \frac{1}{4}$

   যেহেতু তুলি ও পলি স্বাধীনভাবে অংকটি সমাধান করার চেষ্টা করে, সুতরাং ঘটনা দুটি স্বাধীন।
   অতএব, $P(T \cap P) = P(T) \times P(P) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$

   অংকটি সমাধান হওয়া মানে অন্তত একজন অংকটি সমাধান করতে পারা (তুলি বা পলির একত্রে অংকটি সমাধান করা):
   $P(T \cup P) = P(T) + P(P) - P(T \cap P)$
   $= \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{12}$
   $= \frac{4 + 3 - 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

   (অথবা, যদি 'একত্রে' বলতে উভয়ই সমাধান করা বোঝায়, তবে $P(T \cap P) = \frac{1}{12}$। প্রচলিত প্রশ্নগুলোতে 'অংকটি সমাধান হওয়ার সম্ভাবনা' অর্থে $P(T \cup P) = \frac{1}{2}$ নির্ণয় করা হয়।)

   অতএব, নির্ণেয় সম্ভাব্যতা $\frac{1}{2}$ (বা উভয়ই পারলে $\frac{1}{12}$)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত উপাত্তসমূহ ($n = 10$):
   $x_i$: 210, 220, 225, 230, 235, 238, 240, 242, 245, 248

   হিসাবের সুবিধার জন্য ধরি, $u_i = x_i - 235$
   তাহলে মানগুলো হয়:
   $u_1 = 210 - 235 = -25$
   $u_2 = 220 - 235 = -15$
   $u_3 = 225 - 235 = -10$
   $u_4 = 230 - 235 = -5$
   $u_5 = 235 - 235 = 0$
   $u_6 = 238 - 235 = 3$
   $u_7 = 240 - 235 = 5$
   $u_8 = 242 - 235 = 7$
   $u_9 = 245 - 235 = 10$
   $u_{10} = 248 - 235 = 13$

   যোগফল:
   $\sum u_i = -25 - 15 - 10 - 5 + 0 + 3 + 5 + 7 + 10 + 13 = -17$

   বর্গের যোগফল:
   $\sum u_i^2 = (-25)^2 + (-15)^2 + (-10)^2 + (-5)^2 + 0^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + 10^2 + 13^2$
   $= 625 + 225 + 100 + 25 + 0 + 9 + 25 + 49 + 100 + 169 = 1327$

   আমরা জানি, মূল বা স্থানান্তরের পরিবর্তনে ভেদাংক অপরিবর্তিত থাকে, অর্থাৎ $\sigma_x^2 = \sigma_u^2$।
   অতএব, ভেদাংক (Variance), $\sigma^2$:
   $\sigma^2 = \frac{\sum u_i^2}{n} - \left(\frac{\sum u_i}{n}\right)^2$
   $= \frac{1327}{10} - \left(\frac{-17}{10}\right)^2$
   $= 132.7 - (-1.7)^2$
   $= 132.7 - 2.89 = 129.81$

   পরিমিত ব্যবধান (Standard Deviation), $\sigma$:
   $\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{129.81} \approx 11.393$

   সুতরাং নির্ণেয় ভেদাংক $129.81$ এবং পরিমিত ব্যবধান প্রায় $11.393$।