প্রশ্ন ও সমাধান

(৪)
ধরি $I=\int_0^{\pi/3}\frac{\cos x}{3+4\sin x}dx$।

$u=3+4\sin x$ ধরি, তাহলে $du=4\cos x\,dx$, অর্থাৎ $\cos x\,dx=\frac{du}{4}$।

সীমা: $x=0$ হলে $u=3$; $x=\frac{\pi}{3}$ হলে $u=3+4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3+2\sqrt{3}$।

$I=\frac14\int_3^{3+2\sqrt3}\frac{du}{u}=\frac14\Big[\ln u\Big]_3^{3+2\sqrt3}=\frac14\left[\ln(3+2\sqrt3)-\ln 3\right]$
$\therefore I=\mathbf{\frac14\ln\frac{3+2\sqrt3}{3}}=\frac14\ln\left(1+\frac{2}{\sqrt3}\right)$