If $n$ is a positive integer, what is the remainder when $n^{3}-n$ is divided by 24 ?i. $n$ can be divided by 8ii. $n$ is greater than 3

Question

Accepted Answer

ক. Statement (i) ALONE is sufficient, but statement (ii) alone is not sufficient.

ব্যাখ্যা: $n^3 - n = (n-1)n(n+1)$, তিনটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যার গুণফল, তাই সবসময় ৩ দ্বারা বিভাজ্য। (i) $n$ ৮ দ্বারা বিভাজ্য হলে গুণফল ৮ ও ৩ উভয় দ্বারা বিভাজ্য, অর্থাৎ ২৪ দ্বারা বিভাজ্য, তাই ভাগশেষ ০ — একা (i)-ই যথেষ্ট। (ii) $n > 3$ একা যথেষ্ট নয়: $n = 4$ হলে ৬০ ÷ ২৪ ভাগশেষ ১২, $n = 5$ হলে ১২০ ÷ ২৪ ভাগশেষ ০।

**শর্টকাট:** $(n-1)n(n+1)$ ⇒ ৬ দ্বারা সবসময় বিভাজ্য; ৮ এলে ২৪।

**একই ধরনের প্রশ্ন:**
১. $n^3 - n$ সবসময় কোন সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য?
*উত্তর:* ৬

প্রশ্ন ও সমাধান

সম্পর্কিত প্রশ্ন