পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

(3) কেপলারের তৃতীয় সূত্র: গ্রহের পর্যায়কালের বর্গ সূর্য থেকে এর গড় দূরত্বের ঘনফলের সমানুপাতিক, অর্থাৎ $T^2 \propto r^3$ বা $T^2 = k r^3$ ($k$ ধ্রুবক)।

প্রতিপাদন: ধরি, $m$ ভরের একটি গ্রহ $M$ ভরের সূর্যকে কেন্দ্র করে $r$ ব্যাসার্ধের প্রায় বৃত্তাকার কক্ষপথে $T$ পর্যায়কালে ঘুরছে।

গ্রহের কৌণিক বেগ $\omega = \frac{2\pi}{T}$।

গ্রহের উপর প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বল,
$F = m\omega^2 r = m\frac{4\pi^2}{T^2} r$

কেপলারের তৃতীয় সূত্র অনুযায়ী $T^2 = k r^3$ বসিয়ে পাই,
$F = \frac{4\pi^2 m r}{k r^3} = \frac{4\pi^2}{k}\cdot\frac{m}{r^2}$

অর্থাৎ $F \propto \frac{m}{r^2}$ ... (i)

নিউটনের তৃতীয় সূত্র অনুযায়ী সূর্য ও গ্রহ পরস্পরকে সমান বলে আকর্ষণ করে। গ্রহ সূর্যকে যে বলে টানে তা গ্রহের ভরের সমানুপাতিক, আর সূর্য গ্রহকে যে বলে টানে তা সূর্যের ভরের সমানুপাতিক। সুতরাং বলটি দুই ভরেরই সমানুপাতিক হবে, অর্থাৎ $F \propto M$ ... (ii)

(i) ও (ii) যোগ করে,
$F \propto \frac{Mm}{r^2}$

$\therefore F = G\frac{Mm}{r^2}$

এখানে $G$ সার্বজনীন মহাকর্ষ ধ্রুবক। এটিই নিউটনের মহাকর্ষ সূত্র: দুটি বস্তুর মধ্যকার আকর্ষণ বল তাদের ভরের গুণফলের সমানুপাতিক এবং মধ্যবর্তী দূরত্বের বর্গের ব্যস্তানুপাতিক।