উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

(২) প্রদত্ত সমীকরণ: $\sin\theta+\sin2\theta+\sin3\theta=1+\cos\theta+\cos2\theta$

বামপক্ষ: $\sin3\theta+\sin\theta=2\sin2\theta\cos\theta$, সুতরাং বামপক্ষ $=\sin2\theta(2\cos\theta+1)$

ডানপক্ষ: $1+\cos2\theta=2\cos^2\theta$, সুতরাং ডানপক্ষ $=\cos\theta+2\cos^2\theta=\cos\theta(1+2\cos\theta)$

অতএব $\sin2\theta(2\cos\theta+1)-\cos\theta(2\cos\theta+1)=0$

$\Rightarrow(2\cos\theta+1)(\sin2\theta-\cos\theta)=0$

$\Rightarrow(2\cos\theta+1)\cos\theta(2\sin\theta-1)=0$

হয় $2\cos\theta+1=0$, অর্থাৎ $\cos\theta=-\dfrac12=\cos\dfrac{2\pi}{3}$ $\Rightarrow\theta=2n\pi\pm\dfrac{2\pi}{3}$

নয়তো $\cos\theta=0$ $\Rightarrow\theta=(2n+1)\dfrac{\pi}{2}$

নয়তো $\sin\theta=\dfrac12=\sin\dfrac{\pi}{6}$ $\Rightarrow\theta=n\pi+(-1)^n\dfrac{\pi}{6}$

উত্তর: $\theta=2n\pi\pm\dfrac{2\pi}{3},\ (2n+1)\dfrac{\pi}{2},\ n\pi+(-1)^n\dfrac{\pi}{6}$, যেখানে $n\in\mathbb{Z}$