উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

(1)
দেওয়া আছে $y = a\sin^{-1}x + b\cos^{-1}x$।

x-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$\frac{dy}{dx} = \frac{a}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{b}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{a-b}{\sqrt{1-x^2}}$

উভয় পক্ষে $\sqrt{1-x^2}$ গুণ করে,

$\sqrt{1-x^2}\,\frac{dy}{dx} = a - b$

আবার অন্তরীকরণ করে,

$\sqrt{1-x^2}\,\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}\cdot\frac{dy}{dx} = 0$ (কারণ $a-b$ ধ্রুবক)

উভয় পক্ষকে $\sqrt{1-x^2}$ দ্বারা গুণ করে,

$(1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2} - x\frac{dy}{dx} = 0$ (প্রমাণিত)