উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ • Jagannath University • জগন্নাথ বিশ্ববিদ্যালয় এ ইউনিট ভর্তি পরীক্ষা ২০২৪-২০২৫ (শিফট ১, লিখিত)

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

cot⁡θ+tan⁡θ=2sec⁡θ\cot \theta + \tan \theta = 2\sec\theta সমীকরণটি সমাধান কর, যেখানে, −2π<θ<π-2\pi < \theta < \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা

(৪) দেওয়া আছে cot⁡θ+tan⁡θ=2sec⁡θ\cot\theta+\tan\theta=2\sec\theta, যেখানে −2π<θ<π-2\pi<\theta<\pi। সংজ্ঞাত হতে হলে sin⁡θ≠0\sin\theta\ne0 ও cos⁡θ≠0\cos\theta\ne0।

বাম পক্ষ: cos⁡θsin⁡θ+sin⁡θcos⁡θ=cos⁡2θ+sin⁡2θsin⁡θcos⁡θ=1sin⁡θcos⁡θ\frac{\cos\theta}{\sin\theta}+\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{\cos^2\theta+\sin^2\theta}{\sin\theta\cos\theta}=\frac{1}{\sin\theta\cos\theta}।

তাহলে 1sin⁡θcos⁡θ=2cos⁡θ\frac{1}{\sin\theta\cos\theta}=\frac{2}{\cos\theta}। উভয় পক্ষকে cos⁡θ (≠0)\cos\theta\ (\ne0) দ্বারা গুণ করে 1sin⁡θ=2⇒sin⁡θ=12\frac{1}{\sin\theta}=2\Rightarrow\sin\theta=\frac{1}{2}।

sin⁡θ=12\sin\theta=\frac12 এর সাধারণ সমাধান θ=nπ+(−1)nπ6\theta=n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}।
−2π<θ<π-2\pi<\theta<\pi ব্যবধিতে:

  • n=0n=0: θ=π6\theta=\frac{\pi}{6}
  • n=1n=1: θ=π−π6=5π6\theta=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}
  • n=−1n=-1: θ=−π−π6=−7π6\theta=-\pi-\frac{\pi}{6}=-\frac{7\pi}{6}
  • n=−2n=-2: θ=−2π+π6=−11π6\theta=-2\pi+\frac{\pi}{6}=-\frac{11\pi}{6}

(n=2n=2 হলে θ=2π+π6>π\theta=2\pi+\frac{\pi}{6}>\pi, আর n=−3n=-3 হলে θ<−2π\theta<-2\pi, তাই ব্যবধির বাইরে।)

θ=π6, 5π6, −7π6, −11π6\theta=\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6},\ -\frac{7\pi}{6},\ -\frac{11\pi}{6}

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন