প্রশ্ন ও সমাধান

(7.1) তৈরি পোশাকের সাইজ গ্রেডিংয়ে সবচেয়ে বেশি চাহিদার মাপ জানা দরকার, তাই কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ প্রচুরক (Mode) ব্যবহৃত হয়।

(7.2) $\beta_2 = 3$ হলে সূঁচালোতা মেসোকার্টিক (Mesokurtic), অর্থাৎ স্বাভাবিক বিন্যাসের মতো। ($\beta_2 > 3$ লেপ্টোকার্টিক, $\beta_2 < 3$ প্লাটিকার্টিক।)

(7.3) মোট তাস ৫২টি। কিং ৪টি, হার্ট ১৩টি, হার্টের কিং উভয়ে আছে (১টি)।
$P = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$। উত্তর: $\frac{4}{13}$

(7.4) নম্বর ৯টি। যোগফল $= 55+36+96+73+60+42+25+78+62 = 527$।
গড় $= \frac{527}{9} \approx 58.56$।
ঊর্ধ্বক্রমে সাজালে: ২৫, ৩৬, ৪২, ৫৫, ৬০, ৬২, ৭৩, ৭৮, ৯৬। ৫ম মান ৬০, তাই মধ্যমা $= 60$।
কোনো মান পুনরাবৃত্ত হয়নি, তাই প্রচুরক নেই।
উত্তর: গড় ≈ ৫৮.৫৬, মধ্যমা ৬০, প্রচুরক নেই।

(7.5) কার্ল পিয়ার্সনের বঙ্কিমতাঙ্ক $= \frac{3(\text{গড়} - \text{মধ্যমা})}{\text{পরিমিত ব্যবধান}} = \frac{3(156.17 - 153.5)}{19.03} = \frac{8.01}{19.03} \approx 0.42$। উত্তর: ≈ ০.৪২ (ধনাত্মক বঙ্কিম)

(7.6) $P(X=2) = \binom{5}{2}(0.2)^2(0.8)^3 = 10 \times 0.04 \times 0.512 = 0.2048$। উত্তর: ০.২০৪৮

(7.7) $\text{Var}(5x+20) = 5^2\,\text{Var}(x) = 25\times10 = 250$। (ধ্রুবক ২০ ভেদাঙ্ক বদলায় না।) উত্তর: ২৫০

(7.8) $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$
$\frac12 = \frac13 + P(B) - \frac1{10}$
$P(B) = \frac12 - \frac13 + \frac1{10} = \frac{15 - 10 + 3}{30} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}$। উত্তর: $\frac{4}{15}$

(7.9) $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$, তাই $E(X^2) = 0.2331 + (0.63)^2 = 0.2331 + 0.3969 = 0.63$। উত্তর: ০.৬৩

(7.10) পরিমিত ব্যবধান $\sigma = \sqrt{36} = 6$। বিভেদাঙ্ক (Coefficient of variation) $= \frac{\sigma}{\bar{x}}\times100 = \frac{6}{18}\times100 = 33.33\%$। উত্তর: ৩৩.৩৩%