প্রশ্ন ও সমাধান

(3)
রেখাত্রয়: $x=1$, $y=x-2$, এবং অধিবৃত্ত $y^2=x$।

ছেদবিন্দু নির্ণয়:
$y=x-2$ ও $y^2=x$: $y^2=y+2\Rightarrow y^2-y-2=0\Rightarrow y=2,-1$, তাই বিন্দুদ্বয় $(4,2)$ ও $(1,-1)$।
$x=1$ ও $y^2=x$: $(1,1)$ এবং $(1,-1)$। $x=1$ ও $y=x-2$: $(1,-1)$।

আবদ্ধ ক্ষেত্রটির শীর্ষবিন্দু $(1,-1)$, $(1,1)$ ও $(4,2)$। $x$ এর সাপেক্ষে $x=1$ থেকে $x=4$ পর্যন্ত উপরের সীমা $y=\sqrt x$ এবং নিচের সীমা $y=x-2$।

ক্ষেত্রফল $=\displaystyle\int_1^4\left(\sqrt x-(x-2)\right)dx=\left[\dfrac23x^{3/2}-\dfrac{x^2}{2}+2x\right]_1^4$
$=\left(\dfrac{16}{3}-8+8\right)-\left(\dfrac23-\dfrac12+2\right)=\dfrac{16}{3}-\dfrac{13}{6}=\dfrac{19}{6}$।

(যাচাই: $y$ এর সাপেক্ষে $\int_{-1}^{1}(y+2-1)dy+\int_1^2(y+2-y^2)dy=2+\dfrac76=\dfrac{19}{6}$।)

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল $\dfrac{19}{6}$ বর্গ একক।