গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   চিত্রে $A, O, C$ একই সরলরেখায়, অর্থাৎ $AC$ ব্যাস, এবং $\angle OBA=30^\circ$।

   $OA=OB$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ), তাই $\angle OAB=\angle OBA=30^\circ$।

   $\triangle OAB$ এর বহিঃস্থ কোণ $\angle BOC=\angle OAB+\angle OBA=30^\circ+30^\circ=60^\circ$।

   উত্তর: $60^\circ$।

2. খ)

   $OM\perp AB$, তাই $M$ জ্যা $AB$ এর মধ্যবিন্দু। $MB=\dfrac{y}{2}$ সে.মি., $OB=10$ সে.মি. এবং $OM=\dfrac y2-2$ সে.মি.।

   সমকোণী $\triangle OMB$ এ $OM^2+MB^2=OB^2$:

   $\left(\dfrac y2-2\right)^2+\left(\dfrac y2\right)^2=100$

   ধরি $m=\dfrac y2$। $(m-2)^2+m^2=100$, $2m^2-4m+4=100$, $m^2-2m-48=0$

   $(m-8)(m+6)=0$, $m>0$ বলে $m=8$।

   অতএব $y=2m=16$।

   উত্তর: $y=16$ সে.মি.।

3. গ)

   অঙ্কন: বৃত্তের কেন্দ্র $O$ এবং বৃত্তস্থ বিন্দু $C$ প্রদত্ত। $C$ বিন্দুতে স্পর্শক আঁকতে হবে।

   ১. $O, C$ যোগ করি এবং $OC$ কে $C$ এর দিকে বর্ধিত করি।
   ২. $C$ কে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে বর্ধিত রেখার দুই পাশে $P$ ও $Q$ বিন্দুতে বৃত্তচাপ আঁকি, যাতে $CP=CQ$ হয়।
   ৩. $P$ ও $Q$ কে কেন্দ্র করে $PC$ এর চেয়ে বড় সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে রেখার উপরে দুটি চাপ আঁকি, যারা $T$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   ৪. $C, T$ যোগ করি এবং উভয় দিকে বাড়াই। $CT$ রেখাই $C$ বিন্দুতে স্পর্শক।

   প্রমাণ: $CP=CQ$ এবং $TP=TQ$ বলে $CT$ রেখা $PQ$ এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক, তাই $CT\perp OC$। বৃত্তের ব্যাসার্ধ স্পর্শবিন্দুগামী স্পর্শকের উপর লম্ব, অতএব $CT$ হলো $C$ বিন্দুতে স্পর্শক। $T$ বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু।