গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   আমরা জানি, $\operatorname{cosec}^2A-\cot^2A=1$, তাই $(\operatorname{cosec}A+\cot A)(\operatorname{cosec}A-\cot A)=1$। $\operatorname{cosec}A-\cot A=\frac{1}{x}=\frac{1}{2}$ হলে $\operatorname{cosec}A+\cot A=1\div\frac{1}{2}=\mathbf{2}$।

2. খ)

   দেওয়া আছে, $\operatorname{cosec}A-\cot A=\frac{1}{x}$। ...(১)
   আবার $(\operatorname{cosec}A+\cot A)(\operatorname{cosec}A-\cot A)=1$ থেকে $\operatorname{cosec}A+\cot A=x$। ...(২)

   (২) $-$ (১) করে, $2\cot A=x-\frac{1}{x}=\frac{x^2-1}{x}$, বা $\cot A=\frac{x^2-1}{2x}$।
   (২) $+$ (১) করে, $2\operatorname{cosec}A=x+\frac{1}{x}=\frac{x^2+1}{x}$, বা $\operatorname{cosec}A=\frac{x^2+1}{2x}$।

   $\cos A=\cot A\div\operatorname{cosec}A=\frac{x^2-1}{2x}\times\frac{2x}{x^2+1}=\frac{x^2-1}{x^2+1}$। (প্রমাণিত)

3. গ)

   দেওয়া আছে, $\sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta=2$।

   আমরা জানি, $(\sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta)^2+(\sqrt{3}\sin\theta-\cos\theta)^2=4(\sin^2\theta+\cos^2\theta)=4$।

   $\therefore\ 2^2+(\sqrt{3}\sin\theta-\cos\theta)^2=4$, বা $(\sqrt{3}\sin\theta-\cos\theta)^2=0$।
   $\therefore\ \sqrt{3}\sin\theta=\cos\theta$, বা $\tan\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}=\tan30^{\circ}$।

   $\therefore\ \theta=\mathbf{30^{\circ}}$।

   যাচাই: $\sin30^{\circ}+\sqrt{3}\cos30^{\circ}=\frac{1}{2}+\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2$ ✓।