উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $2P = \tan\frac{x+y}{2} + \tan\frac{x-y}{2}$
   $= \frac{\sin\frac{x+y}{2}}{\cos\frac{x+y}{2}} + \frac{\sin\frac{x-y}{2}}{\cos\frac{x-y}{2}}$
   $= \frac{\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} + \cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}}{\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}}$
   লবে $\sin(A+B)$ এর সূত্র প্রয়োগ করে পাই,
   $2P = \frac{\sin\left(\frac{x+y}{2} + \frac{x-y}{2}\right)}{\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}} = \frac{\sin x}{\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}}$
   উভয়পক্ষকে $2$ দ্বারা গুণ করে বা হরকে $2$ দিয়ে গুণ করে পাই:
   $P = \frac{\sin x}{2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}}$
   যেহেতু $2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$,
   $2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} = \cos\left(\frac{x+y}{2}+\frac{x-y}{2}\right) + \cos\left(\frac{x+y}{2}-\frac{x-y}{2}\right) = \cos x + \cos y$
   অতএব,
   $P = \frac{\sin x}{\cos x + \cos y}$ (দেখানো হলো)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   'ক' হতে পাই, $P = \frac{\sin x}{\cos x + \cos y}$
   দেওয়া আছে, $y = 90^\circ = \frac{\pi}{2}$
   সুতরাং, $\cos y = \cos 90^\circ = 0$
   অতএব, $P = \frac{\sin x}{\cos x + 0} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$
   সুতরাং, $P = \tan x$-এর লেখচিত্র অঙ্কন করতে হবে।

   লেখচিত্রের বৈশিষ্ট্য:
   ১. এটি মূলবিন্দুগামী এবং একটি পর্যায়বৃত্ত ফাংশন যার পর্যায়কাল $\pi$ (বা $180^\circ$)।
   ২. $x = \pm \frac{\pi}{2}, \pm \frac{3\pi}{2}, \dots$ রেখাগুলো হলো উল্লম্ব অনন্তস্পর্শী (Vertical asymptotes)।
   ৩. ছক তৈরি ($-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ ব্যবধিতে):

   • $x = -60^\circ \Rightarrow P = -\sqrt{3} \approx -1.732$
   • $x = -45^\circ \Rightarrow P = -1$
   • $x = -30^\circ \Rightarrow P = -\frac{1}{\sqrt{3}} \approx -0.577$
   • $x = 0^\circ \Rightarrow P = 0$
   • $x = 30^\circ \Rightarrow P = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$
   • $x = 45^\circ \Rightarrow P = 1$
   • $x = 60^\circ \Rightarrow P = \sqrt{3} \approx 1.732$

   লেখচিত্রের বিবরণ:
   ছক কাগজের সুবিধাজনক স্কেল নিয়ে $x$-অক্ষ বরাবর কোণের মান এবং $y$-অক্ষ বরাবর $P$-এর মান স্থাপন করে বিন্দুগুলো মসৃণ বক্ররেখা দ্বারা যুক্ত করলে $P = \tan x$-এর লেখচিত্র পাওয়া যায়, যা প্রতি $\pi$ ব্যবধানে পুনরাবৃত্ত হয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $\sin x = a - \sin y \Rightarrow \sin x + \sin y = a$ ... (i)
   $\cos x = b - \cos y \Rightarrow \cos x + \cos y = b$ ... (ii)

   (i) ও (ii) নং সমীকরণদ্বয়কে বর্গ করে যোগ করি:
   $(\sin x + \sin y)^2 + (\cos x + \cos y)^2 = a^2 + b^2$
   $\Rightarrow (\sin^2 x + 2\sin x \sin y + \sin^2 y) + (\cos^2 x + 2\cos x \cos y + \cos^2 y) = a^2 + b^2$
   $\Rightarrow (\sin^2 x + \cos^2 x) + (\sin^2 y + \cos^2 y) + 2(\cos x \cos y + \sin x \sin y) = a^2 + b^2$
   $\Rightarrow 1 + 1 + 2\cos(x - y) = a^2 + b^2$
   $\Rightarrow 2 + 2\cos(x - y) = a^2 + b^2$
   $\Rightarrow 2[1 + \cos(x - y)] = a^2 + b^2$
   $\Rightarrow 2\cos(x - y) = a^2 + b^2 - 2$

   আমরা জানি, $\cos(x - y) = 1 - 2\sin^2\frac{x-y}{2}$
   অতএব,
   $2\left(1 - 2\sin^2\frac{x-y}{2}\right) = a^2 + b^2 - 2$
   $\Rightarrow 2 - 4\sin^2\frac{x-y}{2} = a^2 + b^2 - 2$
   $\Rightarrow 4\sin^2\frac{x-y}{2} = 4 - a^2 - b^2$
   $\Rightarrow \sin^2\frac{x-y}{2} = \frac{4 - a^2 - b^2}{4}$

   উভয়পাশে বর্গমূল করে পাই,
   $\sin\frac{1}{2}(x - y) = \pm \frac{1}{2}\sqrt{4 - a^2 - b^2}$ (প্রমাণিত)।