গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   অঙ্কনের বিবরণ ($75^\circ$ কোণ):
   ১. রশ্মি $OA$ আঁকি। $O$ কেন্দ্র করে একটি চাপ আঁকি, যা $OA$ কে $P$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   ২. $P$ কে কেন্দ্র করে একই ব্যাসার্ধে চাপটিকে $Q$ বিন্দুতে কাটি। $\angle AOQ = 60^\circ$।
   ৩. $Q$ কে কেন্দ্র করে একই ব্যাসার্ধে চাপটিকে $R$ বিন্দুতে কাটি ($\angle AOR = 120^\circ$)। $Q$ ও $R$ কে কেন্দ্র করে সমান ব্যাসার্ধে দুটি চাপ আঁকি, যারা $\angle QOR$ এর ভেতরে ছেদ করে; ছেদবিন্দু ও $O$ যুক্ত করে বর্ধিত করলে চাপকে $S$ বিন্দুতে কাটে। তাহলে $\angle AOS = 90^\circ$।
   ৪. $Q$ ও $S$ কে কেন্দ্র করে সমান ব্যাসার্ধে দুটি চাপ আঁকি, যারা $T$ বিন্দুতে ছেদ করে। $OT$ যুক্ত করি।
   ৫. $OT$ রশ্মি $\angle QOS$ ($60^\circ$ ও $90^\circ$ এর মধ্যবর্তী $30^\circ$ কোণ) কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। তাহলে $\angle AOT = 60^\circ + 15^\circ = 75^\circ$।

2. খ)

   দেওয়া আছে: ভূমি $BC = 4$ সে.মি., ভূমি সংলগ্ন কোণ $\angle B = 45^\circ$, অপর দুই বাহুর সমষ্টি $AB + AC = 7$ সে.মি.।

   অঙ্কনের বিবরণ:
   ১. $BC = 4$ সে.মি. আঁকি।
   ২. $B$ বিন্দুতে $\angle CBX = 45^\circ$ আঁকি।
   ৩. $BX$ রশ্মি থেকে $BD = 7$ সে.মি. কেটে নিই।
   ৪. $C, D$ যুক্ত করি।
   ৫. $CD$ এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক আঁকি, যা $BD$ কে $A$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   ৬. $A, C$ যুক্ত করি। তাহলে $\triangle ABC$ ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।

   প্রমাণ: $A$ বিন্দু $CD$ এর লম্বসমদ্বিখণ্ডকের উপর, তাই $AC = AD$। অতএব $AB + AC = AB + AD = BD = 7$ সে.মি., $BC = 4$ সে.মি. এবং $\angle B = 45^\circ$। শর্তগুলো পূরণ হয়েছে।

3. গ)

   ত্রিভুজটির পরিসীমা $= BC + (AB + AC) = 4 + 7 = 11$ সে.মি.।
   সমবাহু ত্রিভুজের প্রতি বাহু $= \dfrac{11}{3}$ সে.মি. $\approx 3.67$ সে.মি.।

   অঙ্কনের বিবরণ:
   ১. একটি রশ্মি $PX$ আঁকি এবং $P$ বিন্দুতে $PX$ এর সাথে যেকোনো সূক্ষ্মকোণ করে আরেকটি রশ্মি $PY$ আঁকি।
   ২. $PY$ থেকে সমান দৈর্ঘ্যের তিনটি অংশ কেটে $P_1, P_2, P_3$ নিই।
   ৩. $PX$ থেকে $PQ = 11$ সে.মি. কাটি। $P_3Q$ যুক্ত করি।
   ৪. $P_1$ বিন্দু দিয়ে $P_3Q$ এর সমান্তরাল রেখা আঁকি, যা $PQ$ কে $R$ বিন্দুতে ছেদ করে। $PR = \dfrac{11}{3}$ সে.মি.।
   ৫. $PR$ কে ভূমি ধরে $P$ ও $R$ বিন্দুতে $60^\circ$ কোণ আঁকি; কোণের বাহুদ্বয় $S$ বিন্দুতে মিলিত হয়। $\triangle PRS$ ই নির্ণেয় সমবাহু ত্রিভুজ, যার প্রতি বাহু $\dfrac{11}{3}$ সে.মি.।