গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2} \times 10 \times 12 \times \sin 30^\circ$

   $= \frac{1}{2} \times 10 \times 12 \times \frac{1}{2} = 30$

   সুতরাং, ক্ষেত্রফল ৩০ বর্গ সে.মি.।

2. খ)

   প্রথমে বর্গক্ষেত্রের বাহু নির্ণয় করি। আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ $w$ মিটার হলে দৈর্ঘ্য $5w$ মিটার।

   ক্ষেত্রফল: $5w \times w = 1280 \Rightarrow w^2 = 256 \Rightarrow w = 16$ মিটার, দৈর্ঘ্য $= 80$ মিটার।

   আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা $= 2(80 + 16) = 192$ মিটার।

   বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা $= 192$ মিটার, তাই বাহু $= \frac{192}{4} = 48$ মিটার $= 4800$ সে.মি.।

   বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= 4800 \times 4800$ বর্গ সে.মি.।
   একটি পাথরের ক্ষেত্রফল $= 40 \times 40 = 1600$ বর্গ সে.মি.।

   পাথরের সংখ্যা $= \frac{4800 \times 4800}{1600} = 120 \times 120 = 14400$

   সুতরাং, মোট ১৪,৪০০টি পাথর লাগবে।

3. গ)

   সামান্তরিক ABCD এর বাহু $AB = 60$ সে.মি., $AD = 52$ সে.মি., ক্ষুদ্রতম কর্ণ $BD = 56$ সে.মি. এবং অপর কর্ণ $AC$।

   কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু O হলে $OB = 28$ সে.মি. এবং $AO$ হলো $\triangle ABD$ এর BD বাহুর ওপর মধ্যমা।

   মধ্যমা উপপাদ্য অনুযায়ী, $AB^2 + AD^2 = 2(AO^2 + BO^2)$

   $60^2 + 52^2 = 2(AO^2 + 28^2)$

   $3600 + 2704 = 2AO^2 + 1568$

   $2AO^2 = 6304 - 1568 = 4736 \Rightarrow AO^2 = 2368$

   $AO = \sqrt{2368} = 8\sqrt{37}$

   অপর কর্ণ $AC = 2 \times 8\sqrt{37} = 16\sqrt{37} \approx 97.32$

   সুতরাং, অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য $16\sqrt{37}$ সে.মি. (প্রায় ৯৭.৩২ সে.মি.)।