গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের $AB$ ব্যাস এবং $CD$ ব্যাস ভিন্ন যেকোনো একটি জ্যা। প্রমাণ করতে হবে $AB > CD$।

   অঙ্কন: $O, C$ এবং $O, D$ যুক্ত করি।

   প্রমাণ: $\triangle OCD$ এ $OC + OD > CD$ (ত্রিভুজের দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বড়)।
   কিন্তু $OC = OD = OA = OB$ (ব্যাসার্ধ), তাই $OC + OD = OA + OB = AB$।
   সুতরাং $AB > CD$। অর্থাৎ ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা। (প্রমাণিত)

2. খ)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $KLMN$ অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ। প্রমাণ করতে হবে $\angle LKN + \angle LMN = 180^\circ$।

   অঙ্কন: $O, L$ এবং $O, N$ যুক্ত করি।

   প্রমাণ: $LN$ চাপের (যাতে $M$ আছে) উপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle LON = \alpha$ হলে বৃত্তস্থ কোণ $\angle LKN = \dfrac{\alpha}{2}$।
   আবার $LN$ এর অপর চাপের (যাতে $K$ আছে) উপর কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ $\angle LON = 360^\circ - \alpha$, তাই বৃত্তস্থ কোণ $\angle LMN = \dfrac{360^\circ - \alpha}{2}$।

   যোগ করে, $\angle LKN + \angle LMN = \dfrac{\alpha}{2} + \dfrac{360^\circ - \alpha}{2} = 180^\circ$। (প্রমাণিত)

3. গ)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু $A$ থেকে স্পর্শক $AK$ ও $AM$ ($K, M$ স্পর্শবিন্দু)। প্রমাণ করতে হবে $OA$, স্পর্শ জ্যা $KM$ এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক।

   অঙ্কন: $O, K$ এবং $O, M$ যুক্ত করি।

   প্রমাণ: $\angle OKA = \angle OMA = 90^\circ$ (স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ স্পর্শকের উপর লম্ব)।
   সমকোণী $\triangle OKA$ ও $\triangle OMA$ এ অতিভুজ $OA$ সাধারণ এবং $OK = OM$ (ব্যাসার্ধ)। তাই $\triangle OKA \cong \triangle OMA$, ফলে $AK = AM$।

   $OK = OM$ এবং $AK = AM$ বলে $O$ ও $A$ উভয় বিন্দুই $K$ ও $M$ থেকে সমদূরবর্তী। তাই $O$ ও $A$ বিন্দু $KM$ এর লম্বসমদ্বিখণ্ডকের উপর অবস্থিত, অর্থাৎ $OA$ রেখাংশ $KM$ এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক। (প্রমাণিত)