গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   অঙ্কনের বিবরণ (২.০ সে.মি. ব্যাসার্ধ):

   ১. O কে কেন্দ্র করে ২.০ সে.মি. ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আঁকি।
   ২. বৃত্তের ওপর নির্দিষ্ট বিন্দু P নিই এবং OP যোগ করে P এর দিকে বর্ধিত করি।
   ৩. P কে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে OP বর্ধিতাংশের দুই পাশে দুটি চাপ কেটে A ও B পাই।
   ৪. A ও B কে কেন্দ্র করে আরও বড় সমান ব্যাসার্ধে PO এর বিপরীত দিকে চাপ কাটি এবং ছেদবিন্দু Q পাই।
   ৫. P, Q যোগ করে উভয় দিকে বর্ধিত করি। PQ রেখাই P বিন্দুতে নির্ণেয় স্পর্শক।

2. খ)

   প্রমাণ: O, M; O, N এবং O, L যোগ করি।

   স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ স্পর্শকের ওপর লম্ব, তাই $OM \perp LM$ এবং $ON \perp LN$, অর্থাৎ $\angle OML = \angle ONL = 90^\circ$।

   এখন সমকোণী $\triangle OLM$ ও $\triangle OLN$ এ,
   অতিভুজ $OL = OL$ (সাধারণ বাহু),
   $OM = ON$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)।

   $\therefore \triangle OLM \cong \triangle OLN$ (অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা)।

   $\therefore LM = LN$। (প্রমাণিত)

3. গ)

   প্রমাণ: OL ও MN এর ছেদবিন্দু P। পূর্বের প্রমাণ অনুযায়ী $\triangle OLM \cong \triangle OLN$, তাই $\angle MOL = \angle NOL$, অর্থাৎ $\angle MOP = \angle NOP$।

   এখন $\triangle OMP$ ও $\triangle ONP$ এ,
   $OM = ON$ (ব্যাসার্ধ),
   $OP = OP$ (সাধারণ বাহু),
   অন্তর্ভুক্ত $\angle MOP = \angle NOP$।

   $\therefore \triangle OMP \cong \triangle ONP$ (বাহু-কোণ-বাহু)।

   $\therefore MP = NP$ এবং $\angle OPM = \angle OPN$।

   কিন্তু $\angle OPM + \angle OPN = 180^\circ$ (সরলকোণ), তাই $\angle OPM = \angle OPN = 90^\circ$।

   অর্থাৎ OL রেখাংশ MN কে সমদ্বিখণ্ডিত করে এবং MN এর ওপর লম্ব। অতএব OL রেখাংশ স্পর্শ জ্যা MN এর লম্ব-দ্বিখণ্ডক। (প্রমাণিত)