গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   সংখ্যা দুইটি $5\times6=30$ ও $7\times6=42$। গ.সা.গু. $\times$ ল.সা.গু. $=$ সংখ্যা দুইটির গুণফল হওয়ায় ল.সা.গু. $=\frac{30\times42}{6}=\mathbf{২১০}$।

2. খ)

   ধরি $u=\sqrt[3]{a+1}$, $v=\sqrt[3]{a-1}$। তাহলে $y=\frac{u+v}{u-v}$ এবং $u^3=a+1$, $v^3=a-1$।

   যোজন-বিয়োজন করে, $\frac{y+1}{y-1}=\frac{(u+v)+(u-v)}{(u+v)-(u-v)}=\frac{2u}{2v}=\frac{u}{v}$

   ঘন করে, $\frac{(y+1)^3}{(y-1)^3}=\frac{a+1}{a-1}$

   আবার যোজন-বিয়োজন করে, $\frac{(y+1)^3+(y-1)^3}{(y+1)^3-(y-1)^3}=\frac{(a+1)+(a-1)}{(a+1)-(a-1)}=\frac{2a}{2}=a$

   লব $=2y^3+6y$ এবং হর $=6y^2+2$। তাই $2y^3+6y=a(6y^2+2)$

   $\Rightarrow y^3+3y=3ay^2+a\Rightarrow y^3-3ay^2+3y-a=0$ (দেখানো হলো)

3. গ)

   $p,q,r,s$ ক্রমিক সমানুপাতিক হওয়ায় $\frac{p}{q}=\frac{q}{r}=\frac{r}{s}$। ধরি $\frac{q}{p}=\frac{r}{q}=\frac{s}{r}=k$। তাহলে $q=pk$, $r=pk^2$, $s=pk^3$।

   বামপক্ষ $=(p^2-q^2+r^2)(q^2-r^2+s^2)=p^2(1-k^2+k^4)\cdot p^2k^2(1-k^2+k^4)=p^4k^2(1-k^2+k^4)^2$

   ডানপক্ষ $=(pq-qr+rs)^2=(p^2k-p^2k^3+p^2k^5)^2=\left\{p^2k(1-k^2+k^4)\right\}^2=p^4k^2(1-k^2+k^4)^2$

   অতএব বামপক্ষ $=$ ডানপক্ষ (দেখানো হলো)