উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

(2) প্রথম বৃত্ত $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 8 = 0$ এর কেন্দ্র $C_1(2, -3)$ এবং ব্যাসার্ধ $r_1 = \sqrt{4 + 9 - 8} = \sqrt{5}$।

দ্বিতীয় বৃত্ত $x^2 + y^2 - 10x - 6y + 14 = 0$ এর কেন্দ্র $C_2(5, 3)$ এবং ব্যাসার্ধ $r_2 = \sqrt{25 + 9 - 14} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$।

কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব $C_1C_2 = \sqrt{(5-2)^2 + (3+3)^2} = \sqrt{9+36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

আবার, $r_1 + r_2 = \sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 3\sqrt{5} = C_1C_2$

অতএব বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে। (দেখানো হলো)

স্পর্শবিন্দু $P$ কেন্দ্রদ্বয়ের সংযোগ রেখাকে $r_1 : r_2 = 1 : 2$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

$P = \left(\frac{1\cdot 5 + 2\cdot 2}{1+2}, \frac{1\cdot 3 + 2\cdot(-3)}{1+2}\right) = \left(\frac{9}{3}, \frac{-3}{3}\right) = (3, -1)$

যাচাই: প্রথম বৃত্তে $9 + 1 - 12 - 6 + 8 = 0$ ✓; দ্বিতীয় বৃত্তে $9 + 1 - 30 + 6 + 14 = 0$ ✓

উত্তর: স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক $(3, -1)$