গণিত • Dinajpur Board • দিনাজপুর বোর্ড ২০২২

গণিত প্রশ্ন

চিত্রে OP=2,PM=3 O P=2, P M=\sqrt{3}

  1. ক)

    tan⁡θ+cot⁡θ=2 \tan \theta+\cot \theta=2 হলে, θ \theta এর মান নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    11+sin⁡2θ+11+cos⁡2θ \frac{1}{1+\sin ^{2} \theta}+\frac{1}{1+\cos ^{2} \theta} এর মান নির্ণয় কর।

    (2)
  3. গ)

    প্রমাণ কর যে, (sec⁡α+tan⁡α)2=1+sin⁡α1−sin⁡α (\sec \alpha+\tan \alpha)^{2}=\frac{1+\sin \alpha}{1-\sin \alpha}

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    tan⁡θ+cot⁡θ=2\tan\theta + \cot\theta = 2 থেকে tan⁡θ+1tan⁡θ=2\tan\theta + \dfrac{1}{\tan\theta} = 2, অর্থাৎ tan⁡2θ−2tan⁡θ+1=0\tan^2\theta - 2\tan\theta + 1 = 0 বা (tan⁡θ−1)2=0(\tan\theta - 1)^2 = 0। সুতরাং tan⁡θ=1\tan\theta = 1, তাই θ=45∘\theta = \mathbf{45^\circ}।

  2. খ)

    চিত্র থেকে সমকোণী ত্রিভুজ OPMOPM-এ অতিভুজ OP=2OP = 2 এবং লম্ব PM=3PM = \sqrt{3}।
    sin⁡θ=PMOP=32\sin\theta = \dfrac{PM}{OP} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, অতএব θ=60∘\theta = 60^\circ।
    তাই sin⁡2θ=34\sin^2\theta = \dfrac{3}{4} এবং cos⁡2θ=1−34=14\cos^2\theta = 1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}।
    11+sin⁡2θ+11+cos⁡2θ=11+34+11+14=47+45=20+2835=4835\frac{1}{1+\sin^2\theta} + \frac{1}{1+\cos^2\theta} = \frac{1}{1+\frac{3}{4}} + \frac{1}{1+\frac{1}{4}} = \frac{4}{7} + \frac{4}{5} = \frac{20+28}{35} = \frac{48}{35}
    অতএব, নির্ণেয় মান 4835\mathbf{\dfrac{48}{35}}।

  3. গ)

    বামপক্ষ =(sec⁡α+tan⁡α)2=(1cos⁡α+sin⁡αcos⁡α)2=(1+sin⁡α)2cos⁡2α= (\sec\alpha + \tan\alpha)^2 = \left(\dfrac{1}{\cos\alpha} + \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)^2 = \dfrac{(1+\sin\alpha)^2}{\cos^2\alpha}
    =(1+sin⁡α)21−sin⁡2α= \dfrac{(1+\sin\alpha)^2}{1-\sin^2\alpha} [কারণ cos⁡2α=1−sin⁡2α\cos^2\alpha = 1-\sin^2\alpha]
    =(1+sin⁡α)2(1+sin⁡α)(1−sin⁡α)=1+sin⁡α1−sin⁡α== \dfrac{(1+\sin\alpha)^2}{(1+\sin\alpha)(1-\sin\alpha)} = \dfrac{1+\sin\alpha}{1-\sin\alpha} = ডানপক্ষ।
    সুতরাং, (sec⁡α+tan⁡α)2=1+sin⁡α1−sin⁡α(\sec\alpha + \tan\alpha)^2 = \dfrac{1+\sin\alpha}{1-\sin\alpha}। (প্রমাণিত)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন